Grundgebilde (Geometrie)

Grundgebilde (Geometrie)

In der synthetischen projektiven Geometrie oder Geometrie der Lage des dreidimensionalen Raumes postuliert man die Inzidenz von je zwei der drei Grundelemente Punkt, Gerade und Ebene:

  • ein Punkt liegt in einer Ebene oder die Ebene geht durch den Punkt,
  • ein Punkt liegt in einer Geraden oder die Gerade geht durch den Punkt,
  • eine Gerade liegt in einer Ebene oder die Ebene geht durch die Gerade.

Statt „liegt in“ und „geht durch“ sagt man allgemein „inzidieren mit“. Die Menge aller Grundelemente, die mit einem einzelnen Grundelement – dem „Träger“ – inzidieren, nennt man ein Grundgebilde.

Auf diese Weise erhält man sieben Grundgebilde:

  1. die Menge aller Punkte, die mit einer Geraden inzidieren, heißt Punktreihe
  2. die Menge aller Ebenen, die mit einer Geraden inzidieren, heißt Ebenenbüschel
  3. die Menge aller Punkte, die mit einer Ebene inzidieren, heißt Punktfeld
  4. die Menge aller Ebenen, die mit einem Punkt inzidieren, heißt Ebenenbündel
  5. die Menge aller Geraden, die mit einem Punkt inzidieren, heißt Geradenbündel
  6. die Menge aller Geraden, die mit einer Ebene inzidieren, heißt Geradenfeld

Ein siebtes Grundgebilde erhält man, wenn man alle Geraden eines Geradenfeldes betrachtet, die mit einem bestimmten Punkt der Trägerebene inzidieren: Sie bilden ein Geradenbüschel.

Ein Grundgebilde A ist in einem Grundgebilde B enthalten, wenn A eine echte Teilmenge von B ist. A heißt dann ein Grundgebilde erster Stufe und B ein Grundgebilde zweiter Stufe.

Es gibt daher drei Grundgebilde erster Stufe:

  • Punktreihe, Ebenenbüschel und Geradenbüschel

und vier Grundgebilde zweiter Stufe:

  • Punktfeld, Geradenfeld, Ebenenbündel und Geradenbündel.

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