Grothendieck-Universum

In der Mengenlehre ist ein Grothendieck-Universum eine nichtleere Menge U (von Mengen), bei der die üblichen Mengenoperationen auf den Elementen von U nicht aus U hinausführen.

Die Idee des Grothendieck-Universums stammt vom Mathematiker Alexander Grothendieck, um der Kategorientheorie eine mengentheoretische Grundlage zu geben, entstanden im Rahmen der Verallgemeinerung der Homologietheorie in der Algebraischen Geometrie.

Formale Definition

Eine Menge U heißt Grothendieck-Universum, falls sie folgende Axiome erfüllt:

• $x \in U \Longrightarrow x \subseteq U$: Ist x in U, so sind alle Elemente von x selbst auch Elemente von U.
• $x \in U \Longrightarrow \mathcal{P}(x) \in U \qquad$, wobei $\mathcal{P}$ den Potenzmengenoperator bezeichnet: Ist x in U, so ist die Potenzmenge von x auch Element von U, und damit nach der vorherigen Bedingung auch alle Teilmengen von x.
• $x \in U \Longrightarrow \left\{x\right\} \in U$: Ist x in U, so ist die einelementige Menge {x} auch Element von U.
• Für jede Familie $\left\{ x_i \right\}_{i \in I}$ mit $I \in U$ und $x_i \in U \; \forall \, i \in I$ gilt: $\bigcup\left\{x_i : i \in I \right\} \in U$: Vereinigungen von Elementen von U sind wieder Elemente von U.
• U ist nicht leer.

Diese Definition entspricht derjenigen von P. Gabriel, vgl. Literatur.

Unerreichbare Kardinalzahlen

Eine Kardinalzahl κ heißt (stark) unerreichbar, falls gilt:

• $\mathrm{card}\left(\cup \left\{ x_i : i \in I \right\} \right) < \kappa$ für jede Menge $\left\{ x_i \right\}_{i \in I}$ von Mengen mit $\,\mathrm{card}(I) < \kappa$ und $\mathrm{card}(x_i) < \kappa \quad \forall \, i \in I$
• $\alpha^\beta < \kappa \quad \forall \, \alpha, \beta < \kappa$

Die einzige in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZFC bekannte unerreichbare Kardinalzahl ist $\aleph_0$. Die Existenz weiterer unerreichbarer Kardinalzahlen kann im Rahmen dieser Theorie nicht bewiesen werden (die Widerspruchsfreiheit derselben einmal angenommen), sondern muss durch ein neues Axiom postuliert werden.

Der Zusammenhang zwischen unerreichbaren Kardinalzahlen und Grothendieck-Universen wird nun durch folgenden Satz hergestellt:

Für eine Menge $\,U$ sind folgende Eigenschaften äquivalent:

• $\,U$ ist ein Grothendieck-Universum
• Es gibt eine unerreichbare Kardinalzahl κ so, dass für jede Menge $X \in U$ gilt: $X \subseteq U \Longleftrightarrow \mathrm{card}(X) < \kappa$

Also kann die Existenz von Grothendieck-Universen (außer solchen mit $\mathrm{card}(U) = \alef_0 = \mathrm{card}(\mathbb N)$, welche aber nur endliche Mengen enthalten und damit nicht als interessant gewertet werden) im Allgemeinen nicht im Rahmen der ZFC-Mengenlehre bewiesen werden, allerdings sind nur relativ schwache Zusatzvoraussetzungen notwendig, nämlich die Existenz weiterer unerreichbarer Kardinalzahlen.

Anwendung in der Kategorientheorie

Unter Annahme der Existenz einer echten Klasse von unerreichbaren Kardinalzahlen können mit Hilfe von Grothendieck-Universen in der Kategorientheorie Aussagen über alle Mengen gemacht werden.

Es ist möglich, jeder unerreichbaren Kardinalzahl ein Grothendieck-Universum zuzuordnen. Um eine Aussage über alle Mengen machen zu können, wird für jede Menge eine entsprechende unerreichbare Kardinalzahl benötigt, die echt größer als die Kardinalität der Menge ist, damit ein passendes Grothendieck-Universum existiert, in welchem die gewünschten Konstruktionen durchgeführt werden können.

Siehe auch

• Universum (Mathematik)

Literatur

• Andreas Blass: The interaction between Category theory and Set theory. Mathematical Applications of Category Theory. Contemporary Mathematics, vol. 30, AMS 1984
• N. H. Williams: On Grothendieck universes. Compositio Mathematica, vol. 21, 1969
• A. H. Kruse: Grothendieck universes and the super-complete models of Shepherdson. Compositio Mathematica, vol. 17, 1965
• P. Gabriel: Des catégories abéliennes. Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 90, 1962
• M. Kühnrich: Über den Begriff des Universums. Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 1966, 12, S. 37-59
• M. Potter: Sets: An Introduction. Clarendon Press, 1991, ISBN 0-19853-388-8, 3.3
• S. Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Springer, 1998, ISBN 0-38798-403-8, I.6