Greensche Funktion

Die nach dem Physiker und Mathematiker George Green benannte Greensche Funktion ist ein Hilfsmittel bei der Lösung inhomogener linearer Differentialgleichungen. Man sagt, eine Greensche Funktion „propagiert die Inhomogenität“. In der Potentialtheorie und Schweremessung wird sie u. a. zur Lösung des Ersten Randwertproblems eingesetzt. Siehe auch Fundamentallösung und Übertragungsfunktion.

In der Theoretischen Physik, besonders in der Hochenergie- und Vielteilchenphysik, wird ferner eine Fülle verschiedener Funktionen definiert, die allesamt als „Greensche Funktionen“ bezeichnet werden und mit den hier angegebenen Funktionen in der einen oder anderen Form verwandt sind, ohne dass dies auf den ersten Blick erkennbar wäre. Diese Funktionen sind im Folgenden nicht gemeint.

Motivation

Eine inhomogene lineare Differentialgleichung hat die Form

$L\, y = f$,

wobei L ein linearer Differentialoperator ist. Ziel ist, die partikuläre Lösung y_p zur Inhomogenität f zu finden. Man würde jetzt gerne so etwas wie einen „Umkehr-Operator“ L ^{− 1} finden, denn dann könnte man die Lösung der obigen Gleichung als y = L ^{− 1}f schreiben. Da Ly = 0 aber nicht-triviale Lösungen hat, ist L nicht injektiv, es kann also kein Linksinverses geben. Wohl aber ist L surjektiv, wenn die Gleichung für jedes f Lösungen hat. In diesem Fall hat man also nach einem Rechtsinversen G zu suchen, für das gilt:

$LG = 1 \,$.

Mit $y = G f \,$ hat man dann eine partikuläre Lösung gefunden:

$L y = L (G f) = (L G) f = 1 f = f \,$.

Die allgemeine Lösung ergibt sich durch Addition der allgemeinen Lösung des homogenen Problems.

Die Greensche Funktion G ist die partikuläre Lösung für die Delta-Distribution δ als Inhomogenität:

$L\, G=\delta$

Nun ist die Frage, wie y_p für eine allgemeine Inhomogenität f aus der Greenschen Funktion G gewonnen werden kann:

$L\,y_{p}=f=\delta*f=(L\,G)*f=L\,(G*f)\quad\Rightarrow\quad y_{p}=G*f$

Erklärung der einzelnen Schritte: Das erste Gleichheitszeichen ist die Ausgangsgleichung Ly_p = f. Für jede Funktion f ist die Faltung mit der Delta-Distribution δ möglich und liefert wieder die Funktion (δ ist das neutrale Element der Faltung): f = δ * f. Verwende δ = LG, also dass G die Differentialgleichung mit δ-Inhomogenität löst. Bildet man die Ableitung einer Faltung, so wird die Ableitung einfach hineingezogen: L(f * g) = (Lf) * g = f * (Lg). Schließlich kann aus Ly_p = L(G * f), die partikuläre Lösung identifiziert werden, nämlich als Faltung der Greenschen Funktion mit der Inhomogenität.

Die allgemeine Lösung ergibt sich durch Addition der allgemeinen Lösung des homogenen Problems mit der partikulären Lösung.

Definition

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Sei

$L\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right) = \sum_{k=1}^N a_k(t)\frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d} t^k}$

ein Differentialoperator mit $L\left(\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right) y = f$. Dann erfüllt eine Greensche Funktion G zu diesem Operator die grundlegende Gleichung:

$L\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right) G(t) = \delta(t)$,

wobei δ(t) die Delta-Distribution ist. Unter Umständen fügt man später noch Zusatzbedingungen hinzu, z. B. Retardierungsbedingungen (s.u.) oder die dazu äquivalente „Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung“ oder eine Anfangs- bzw. Randbedingung, durch die G eindeutig wird. Eine spezielle Lösung ergibt sich jedenfalls durch Faltung:

$y(t) = (G * f)(t) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} G(t-t')f(t')\mathrm{d}t'$,

wie man wie folgt einsieht:

$L y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} L G(t-t') f(t') \mathrm{d}t' = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-t') f(t') \mathrm{d}t' = f(t).$

Bleibt die Frage, wie man eine Greensche Funktion findet. Im Spezialfall einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ergibt sich, da man Funktionen mit ihren Fourier-Transformierten

$\tilde{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} t \omega} \,\mathrm{d} t$

identifizieren kann, aus dem Faltungstheorem $\tilde{(f * g)} = \tilde f \tilde g$:

$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega{t} } \mathrm{d} \omega = f(t) &= L\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right) y(t) = L\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{y}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega{t} } \mathrm{d} \omega\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} L(-\mathrm{i} \omega) \tilde{y}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega{t} } \mathrm{d} \omega \end{align}$

bzw. mit der Transferfunktion $Y(-\mathrm{i} \omega ) = \frac{1}{L(- \mathrm{i} \omega )}$:

$\tilde y = Y(- \mathrm{i} \omega ) \tilde f$,

und damit, da zudem auch $\tilde{y} = (2\pi)^{\frac{1}{2}}\tilde{G} \tilde{f}$:

$\tilde{G}(\omega ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot Y(- \mathrm{i} \omega )$  bzw. $G(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} Y(- \mathrm{i} \omega ) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega{t} } \mathrm{d} \omega$.

Für N = 2 entspricht das der stationären („eingeschwungenen“) Antwort des Systems, eines gedämpften harmonischen Oszillators, auf einen ballistischen Einheitsstoß, d.h. auf die spezielle reduzierte Antriebskraft

$f(t)=\delta(t)\equiv \frac{1}{2\pi} \,\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\mathrm i\omega t}\mathrm d\omega$.

Partielle Differentialgleichungen

Für partielle Differentialgleichungen gilt ebenso die definierende Gleichung

$L\left(a_{ij}(x_1,\ldots,x_n) \frac{\partial^{i}}{\partial x_j^{i}}\right)G(x_1,\ldots,x_n)=\delta(x_1)\cdots\delta(x_n)$

und eine spezielle Lösung ergibt sich wiederum durch Faltung:

$y=(2\pi)^{\frac{n}{2}}(G*f)(x_1,\ldots,x_n)$.

Problematischer sind in dem Fall jedoch das Auffinden einer Greenschen Funktion und die Berechnung der mehrdimensionalen Integrale.

Greensche Funktion mit Randbedingungen

Kennt man eine Greensche Funktion zu einem Operator L, so kann man den inhomogenen Teil der Differentialgleichung ohne Probleme lösen. Für die allgemeine Lösung hat man aber im allgemeinen noch Randbedingungen zu erfüllen. Dies kann auf vielfache Art geschehen, ein elegantes Verfahren ist aber die Addition einer Lösung des homogenen Problems LF = 0, sodass die Randbedingungen erfüllt sind. Anschaulich entspricht dies beim Lösen der Poisson-Gleichung dem Hinzufügen von Bildladungen und Entfernen der Ränder, so dass da, wo der Rand war, die vorher vorgegebenen Werte angenommen werden. Man denke sich als einfaches Beispiel ein geladenes Teilchen vor einer geerdeten Ebene. Bringt man auf der anderen Seite der Ebene eine entgegengesetzt geladene Ladung an und entfernt gedanklich die Ebene, so ist dort, wo die Ebene war, das Potential Null, was die geforderte Randbedingung erfüllt.

Häufig verwendet man dieses Verfahren zum Lösen der Poisson-Gleichung ΔΦ = − 4πρ. Mithilfe des Gaußschen Integralsatzes findet man (G' = G + F):

$\begin{align} \Phi(\mathbf{r}) &= \int_\Omega \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\Phi(\mathbf{r}') \mathrm{d}^3 r' = \int_\Omega (\nabla\cdot\nabla G'(\mathbf{r}-\mathbf{r}'))\Phi(\mathbf{r}') \mathrm{d}^3 r'\\ &= \int_{\partial \Omega} \!\!\! \Phi(\mathbf{r}') \nabla G'(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \cdot \mathrm{d}\mathbf{f}\, - \int_{\partial\Omega} \!\!\!G'(\mathbf{r}-\mathbf{r}') \nabla \Phi(\mathbf{r}') \cdot \mathrm{d}\mathbf{f}\, + \int_\Omega \!G'(\mathbf{r}-\mathbf{r}') (-4\pi\rho(\mathbf{r}')) \mathrm{d}^3 r' \end{align}$

Je nachdem, ob man nun das Potential oder dessen Ableitung auf dem Rand vorgegeben hat, wählt man nun die Funktion F die zu G hinzuaddiert werden soll so, dass im ersten Fall $G'|_{\partial\Omega} =0$ gilt und nennt G′ üblicherweise Dirichletsche Greensche Funktion G_D. Im zweiten Fall wählt man F nicht – wie nahe liegen würde – so, dass $\nabla G' \cdot \mathbf{n}|_{\partial\Omega}$ verschwindet, da dies den Gaußschen Satz verletzen würde. Stattdessen wählt man F so, dass

$\nabla G' \cdot \mathbf{n}|_{\partial\Omega}= \frac{1}{|\partial\Omega|}$

gilt (was in obigem Integral nur den Mittelwert des Potentials über die Oberfläche produziert, eine Konstante um die die Lösung sowieso unbestimmt ist) und nennt G' üblicherweise Neumannsche Greensche Funktion G_N. Die zu bestimmenden Greenschen Funktionen findet man bei symmetrischen Problemen oft aus geometrischen Überlegungen. Alternativ kann man F nach einem Orthonormalsystem des Operators entwickeln. Hat man eine Lösung gefunden, so ist diese eindeutig bestimmt, wie unmittelbar aus dem Maximumprinzip für elliptische Differentialgleichungen folgt.

Beispiele

Bestimmung des statischen elektrischen Feldes

Nach den Maxwell-Gleichungen gilt für die Quellstärke des zeitlich unveränderlichen elektrischen Feldes

$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\epsilon_0}\rho(\mathbf{r})$,

wobei $\mathbf{E}$ die elektrische Feldstärke und ρ die elektrische Ladungsdichte ist. Da es sich im elektrostatischen Fall um ein konservatives System handelt, gilt

$\mathbf{E} = -\mathbf{\nabla}\,\varphi$,

wobei φ das elektrische Potential ist. Einsetzen liefert die Poisson-Gleichung

$\Delta \varphi = -\frac{1}{\epsilon_0}\rho(\mathbf{r})$,

also eine inhomogene lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung. Kennt man eine Greensche Funktion G_Δ des Laplace-Operators $\Delta = \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{\nabla}$, so lautet eine partikuläre Lösung

$\varphi_p(\mathbf{r}) = \int_\Omega G_\Delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\left( -\frac{1}{\epsilon_0}\rho(\mathbf{r}')\right) \mathrm{d}^n r'$

Eine (nicht eindeutig bestimmte) Greensche Funktion des Laplace Operators in 3 Dimensionen ist

$G_\Delta(\mathbf{r}) = - \frac{1}{4\pi}\frac{1}{|\mathbf{r}|}$,

womit sich nach Einsetzen

$\varphi_p(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_\Omega \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}^3 r' \equiv \int_Q \frac{-1}{4\pi|\mathbf{r}-\mathbf{r}'(q)|}\,\mathrm{d}\left( -\frac{q}{\epsilon_0}\right)$

ergibt. Letzte Gleichung soll die physikalische Interpretation der Greenschen Funktion verdeutlichen. Die Greensche Funktion zusammen mit dem Differential stellen einen „Potentialstoß“ dar, das Gesamtpotential ergibt sich dann durch Superposition aller „Potentialstöße“, also durch Ausführen des Integrals.

Inhomogene Wellengleichung

Dieser Fall ist etwas schwieriger und anders geartet, weil man es nicht mit einer elliptischen, sondern mit einer hyperbolischen Differentialgleichung zu tun hat. Hier treten die oben angedeuteten Komplikationen auf.

Greensche Funktion per Fourieranalyse

Die inhomogene Wellengleichung hat die Form

$\Box u(\mathbf{r},t) \equiv \left( \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta \right) u(\mathbf{r},t) = f(\mathbf{r},t)$

Durch Fourier-Zerlegung findet man nach Ausführen des Operators für die Fourier-Transformierten

$\left(k^2 -\frac{\omega^2}{c^2} \right)\tilde{u}(\mathbf{k},\omega) = \tilde f(\mathbf{k},\omega)$

Nach dem Faltungstheorem gilt also:

$\tilde G(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{4\pi^2}\,\frac{1}{k^2-\frac{\omega^2}{c^2}}$

Die Rücktransformation kann man mithilfe des Residuenkalküls ausrechnen und findet

$G(\mathbf{r},t) = \frac{1}{(2\pi)^4} \int \mathrm{d}^3 k \int \mathrm{d} \omega \frac{ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} ( \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \omega t) }} {\left( k^2 - \frac{\omega^2}{c^2}\right)} = \frac{1}{4\pi r}\left( \delta(t-\frac{r}{c}) + \delta(t + \frac{r}{c})\right)$

was in natürlicher Weise zu zwei Anteilen („retardierter“ bzw. „avancierter“ Anteil) der Greenschen Funktion Anlass gibt. Das Argument in der ersten Deltafunktion, $t-\tfrac{r}{c}$, bedeutet nämlich, dass eine zum Zeitpunkt t = 0 bei $\mathbf r=0$ erzeugte „Ursache“ durch die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle erst zum Zeitpunkt $\tfrac{r}{c}$ ihre „Wirkung“ am Ort $\mathbf{r}$ hervorruft. Für die zweite Deltafunktion ergibt sich, dass das Feld gegenüber der Inhomogenität um das entsprechende Zeitintervall vorauseilt. Das wäre aus Kausalitätsgründen unphysikalisch, wenn man die Inhomogenität als Ursache und das Feld als Wirkung ansehen würde; es ist aber durchaus physikalisch, wenn die Inhomogenität als Absorber (Empfänger) der Welle fungiert.

Die retardierte Greensche Funktion, bei der die Inhomogenität kausal als Sender fungiert, lautet somit

$G_\mathrm{ret}(\boldsymbol{r},t) = \frac{\delta\left(t-\frac{r}{c}\right)}{4\pi r}$

Die retardierte Lösung der Wellengleichung ergibt sich dann durch Faltung:

$\begin{align} u(\mathbf{r},t) &= (2\pi)^{\frac{4}{2}} (G_\text{ret}*f)(\mathbf{r},t) = \int \mathrm{d}^3 r' \int\limits_{-\infty}^t\mathrm{d}t'\, G_\text{ret}(\mathbf{r}-\mathbf{r}',t-t')f(\mathbf{r}',t')\\ &= \frac{1}{4\pi} \int \mathrm{d}^3 r' \frac{f(\mathbf{r}',t-\frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}{c})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \end{align}$

Es gilt also ein Superpositionsprinzip mit Retardierung: Die Lösung ist eine Überlagerung von auslaufenden Kugelwellen (Huygenssches Prinzip, Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung), deren Bildung ähnlich wie in der Elektrostatik erfolgt.

Die avancierte Greensche Funktion, bei der die Inhomogenität kausal als Empfänger fungiert, lautet

$G_\mathrm{av}(\boldsymbol{r},t) = \frac{\delta\left(t+\frac{r}{c}\right)}{4\pi r}$

Alternative Herleitung

Wenn man die Greensche Funktion des Laplace-Operators als bekannt voraussetzt (siehe Hauptartikel Laplace-Operator und Poisson-Gleichung), kann die retardierte Greensche Funktion der Wellengleichung ohne Fouriertransformation gewonnen werden ^[1]. Zunächst gilt für eine beliebige „glatte“ Funktion f

$\left( \frac1{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta \right) \frac{f\left(t-\frac{r}{c}\right)}{4\pi r} = \delta(\boldsymbol{r}) f(t)$

wobei $\delta(\boldsymbol{r})$ die dreidimensionale Delta-Funktion ist. Um zu sehen, dass die linke Seite im Bereich r > 0 stets null ist, schreibt man den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten mit dem radialen Teil in der Form $\Delta f = r^{-1}\partial^2(rf)/\partial r^2$. In unmittelbarer Umgebung von r = 0 kann die glatte Funktion als räumlich konstant gleich f(t) angesehen werden. Anwendung des Laplace-Operators auf den Faktor 1 / 4πr erzeugt dann die dreidimensionale Delta-Funktion.

Das Argument lässt sich durch Entwickeln von f(t − r / c) nach Potenzen von r präzisieren, wobei die führende Potenz bei Anwendung des Laplace-Operators gesondert behandelt werden muss.

Für f kann insbesondere eine Gaussfunktion gewählt werden. Da die Delta-Funktion als Limes von Gaussfunktionen dargestellt werden kann, erhält man im Limes $f \to \delta$ die definierende Gleichung für die Greensche Funktion der Wellengleichung.

Bemerkungen

Die obige Darstellung ist für gewöhnliche Funktionen mathematisch nicht streng, z. B. darf man im Allgemeinen nicht Integral- und Differentialoperator vertauschen. Eine strengere Darstellung liefert die Distributionstheorie.

Einzelnachweise

1. ↑ R. P. Feynman, Vorlesungen über Physik, Band 2: Elektrodynamik, Oldenbourg-Verlag 2001, Abschnitt 21-2.

Weblinks

• Greensche Funktion bei MathWorld (englisch)