Gleichungen von Navier-Stokes

Die Navier-Stokes-Gleichungen [navˈjeː stəʊks] (nach Claude Louis Marie Henri Navier und George Gabriel Stokes) sind die Grundgleichungen der Strömungsmechanik. Sie beschreiben die Strömung in newtonschen Flüssigkeiten und Gasen. Die Navier-Stokes-Gleichungen verkörpern ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung.

Kern der Gleichungen ist der Impulssatz als Anwendung der newtonschen Axiome für ein Kontinuum. Bei Nutzung des Nabla-Operators $\nabla$ hat er die Form:

$\rho \dot\mathbf{v} =-\nabla p + \eta \Delta \mathbf{v} + (\lambda + \eta) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v})+\mathbf{f}.$

Hier ist $\dot\mathbf{v}$ die Beschleunigung eines Teilchens in der Strömung. Unter Beachtung der Kettenregel sowie $\mathbf{v} = \mathbf{v} ( \mathbf{r},t)$ wird hieraus:

$\rho{ \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} } + \rho(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} =-\nabla p + \eta \Delta \mathbf{v} + (\lambda + \eta) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v})+\mathbf{f}.$

Der Vektor $\mathbf{f}$ beschreibt die Volumenkraftdichte wie beispielsweise die Gravitation oder die Corioliskraft jeweils bezogen auf das Einheitsvolumen und besitzt die Einheit Newton/Kubikmeter. Die Stoffkonstanten λ und η sind die Lamé-Viskositäts-Konstanten und werden in der Regel als bekannt vorausgesetzt. η wird auch als dynamische Viskosität bezeichnet. ρ ist die Dichte und p der Druck.

Zur Vervollständigung der Gleichungen müssen noch der Massenerhaltungssatz (die Kontinuitätsgleichung) und der Energieerhaltungssatz hinzugefügt werden. Je nach weiteren Annahmen, die an das Fluid gestellt werden, ergibt sich das vollständige System in unterschiedlicher Form. Die am häufigsten verwendete Form sind die weiter unten erläuterten inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.

Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

Falls sich die Dichte entlang Teilchenbahnen nicht ändert, heißt die Strömung inkompressibel. Dies ist beispielsweise eine sinnvolle Annahme für Wasser. Die Impulsgleichung vereinfacht sich dann zu:

$\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = - \nabla p + \nu \Delta \mathbf{v}+\mathbf{f}.$

Hierbei stehen p und $\mathbf{f}$ jeweils für den Quotient aus physikalischem Druck und Dichte beziehungsweise Volumenkraft und Dichte und beschreiben somit Druck und Volumenkraft bezogen auf die Einheitsmasse. Die Größe ν = η / ρ heißt kinematische Viskosität und beschreibt den diffusiven Impulstransport.

Die Kontinuitätsgleichung vereinfacht sich zur Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes

$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0,$

welche ein inkompressibles Fluid charakterisiert.

Damit wird eine inkompressible Strömung vollständig durch ein partielles Differentialgleichungssystem mit zwei Gleichungen für die zwei Größen Geschwindigkeit $\mathbf{v}$ und Druck p in Abhängigkeit von Ort und Zeit beschrieben. Die Energieerhaltung wird nicht zum Schließen des Systems benötigt.

Die vorliegenden Gleichungen werden in der Literatur üblicherweise als die Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet, weil sie die am besten untersuchten und in der Praxis am häufigsten benutzten sind. Sie gelten für viele wichtige Strömungsprobleme, beispielsweise für Luftströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit, für Wasserströmungen sowie für flüssige Metalle. Sobald sich die Dichten der betrachteten Fluide jedoch stark ändern, wie zum Beispiel bei Überschallströmungen oder beim Aufsteigen heißer Luft über einem Waldbrand, stellen die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen kein geeignetes Modell der Wirklichkeit mehr dar und müssen durch die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen ersetzt werden.

Die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

Die oben beschriebenen inkompressiblen Gleichungen sind ein Spezialfall der kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. Diese gelten für ein allgemeines ideales Gas. Sie bestehen aus den Gleichungen (zur Schreibweise: $~\partial_t$ ist die Ableitung der Größe nach der Zeit, $~\nabla_x$ ist die Divergenz (bzw. der Gradient), $~i=1,2,3$ sind die 3 Ortskoordinaten)

• der Massenerhaltung (hier formuliert mit der Impulsdichte $~\mathbf{m} = \rho \vec{v}$)

$\partial_t \rho + \nabla_x \cdot \mathbf{m} = 0,$

• der Impulserhaltung

$\partial_t m_i + \sum_{j=1}^3 \partial_{x_j} (m_i v_j + p \delta_{ij}) = \sum_{j=1}^3 \partial_{x_j} S_{ij} + \rho g_i, \qquad i=1,2,3$

wobei $~\delta_{ij}$ das Kronecker-Delta ist und

$S_{ij} = \mu \left[(\partial_{x_j} v_i + \partial_{x_i} v_j) - \frac{2}{3} \delta_{ij} \sum_{k=1}^3 \partial_{x_k} v_k\right], \qquad i,j=1,2,3$

den viskosen Spannungstensor beschreibt, wobei $~\mu$ die dynamische Viskosität und $~g_i$ die i'te Komponente des Gravitationsvektors ist, und

• der Energieerhaltung

$\partial_t \rho E + \nabla \cdot (H \mathbf{m}) = \sum_{j=1}^3 \partial_{x_j} \left (\sum_{i=1}^3 S_{ij} v_i - W_j \right) + q - \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{g},$

wobei $~H = E + \frac{p}{\rho}$ die Enthalpie pro Einheitsmasse ist und $~W_j$ der Wärmefluss ist, der mittels des Wärmeleitkoeffizienten $~\kappa$ als

$W_j = -\kappa \partial_{x_j} T$

geschrieben werden kann. $~q$ ist ein Quellterm, der z. B. die Absorption und Emission aus den Treibhausgasen beschreibt. Die totale Energie pro Einheitsmasse $~E$ ist die Summe von innerer ($~e$), kinetischer und potentieller Energie ($~h:$ Höhe):

$E = e + \frac{1}{2} |\mathbf{v}^2| + h |\mathbf{g}|.$

Wir haben also vier Gleichungen für fünf Variablen und das System wird durch die Zustandsgleichung abgeschlossen:

$p = (\gamma -1) \rho \left(E - \frac{1}{2} |{\textbf v}|^2 - h |\mathbf{g}|\right).$

Die thermodynamischen Größen Dichte, Druck und Temperatur sind durch das ideale Gasgesetz verbunden:

$T = \frac{p}{\rho R} \qquad \text{und} \qquad e = \frac{R T}{\gamma - 1}.$

Schließlich hängen der adiabatische Exponent $~\gamma$ und die Gaskonstante $~R$ durch den spezifischen Wärmekoeffizienten für konstanten Druck $~c_p$ respektive konstantes Volumen $~c_v$ durch $~\gamma = \frac{c_p}{c_v}$ und $~R = c_p - c_v$ zusammen.

Unter der Annahme, dass die Dichte entlang Teilchenbahnen konstant ist, erhält man die Gleichungen für inkompressible Fluide zurück. Eine Entdimensionalisierung liefert diverse dimensionslose Kennzahlen wie die Reynolds-Zahl oder die Prandtl-Zahl.

Randbedingungen

Ein wesentlicher Punkt bei den Navier-Stokes-Gleichungen ist die experimentell sehr gut nachgewiesene No-Slip-Bedingung, bei der an einer festen Wand sowohl normal, als auch insbesondere tangential als Geschwindigkeit Null vorgeschrieben werden. Dies führt zur Bildung einer Grenzschicht, die für wesentliche, nur durch die Navier-Stokes-Gleichungen modellierte, Phänomene verantwortlich ist. Nur wenn die freie Weglänge bewegter Moleküle groß ist zur charakteristischen Länge der Geometrie (z. B für Gase mit extrem niedrigen Dichten oder Strömungen in extrem engen Spalten) ist diese Bedingung nicht mehr sinnvoll.

Zusätzlich muss am Rand noch entweder eine Temperatur oder ein Wärmefluss vorgeschrieben werden.

Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Euler-Gleichungen

Siehe auch Hauptartikel Euler-Gleichungen

Werden die Terme zweiter Ordnung, wie Reibung, vernachlässigt (η=0; λ=0), so erhält man die Euler-Gleichungen (hier für den inkompressiblen Fall)

$\rho \left(\frac{ \partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = \mathbf{f} -\nabla p$.

Die kompressiblen Euler-Gleichungen spielen insbesondere in der Aerodynamik eine Rolle als Approximation der vollen Navier-Stokes-Gleichungen.

Stokes-Gleichung

Eine andere Art von Vereinfachungen ist in der Geodynamik üblich, wo der Mantel der Erde (oder anderer terrestrischer Planeten) als eine extrem zähe Flüssigkeit behandelt wird (Schleichende Strömung). In dieser Näherung ist die Diffusivität des Impulses, d. h. die kinematische Viskosität, viele Größenordnungen höher als die thermische Diffusivität, und der Trägheitsterm kann vernachlässigt werden. Dies ergibt die Stokes-Gleichung:

$-\nabla p+\eta \cdot \Delta \mathbf{v}+\mathbf{f}=0.$

Wendet man die Helmholtz-Projektion P auf die Gleichung an, verschwindet der Druck in der Gleichung:

$\eta \cdot P\Delta \mathbf{v}+\tilde\mathbf{f}=0$

mit $\tilde\mathbf{f}=P\mathbf{f}$. Dies hat den Vorteil, dass die Gleichung nur noch von $\mathbf{v}$ abhängt. Die ursprüngliche Gleichung erhält man mit $\nabla p=(\operatorname{Id}-P)(\Delta\mathbf{v}+f)$. PΔ wird auch Stokes-Operator genannt.

Andererseits haben Geomaterialien eine komplizierte Rheologie, die dazu führt, dass die Viskosität nicht als konstant angesehen wird. Für den inkompressiblen Fall ergibt dies:

$-\nabla p+ \nabla\cdot\{\eta[\nabla\mathbf{v}+(\nabla\mathbf{v})^\mathrm{T}]\}+ \mathbf{f}=0$.

Boussinesq-Approximation

Für gravitationsabhängige Strömungen mit kleinen Dichtevariationen und nicht zu großen Temperaturschwankungen wird häufig die Boussinesq-Approximation verwendet.

Lösungsansätze

Es ist bis heute nicht gelungen, die Existenz von globalen Lösungen nachzuweisen. Mathematiker wie P.-L. Lions (siehe Literaturliste) betrachten im wesentlichen den wichtigen Spezialfall der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. Während hier für den zweidimensionalen Fall unter anderem von R. Temam und C. Foias bereits weitreichende Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsaussagen bewiesen werden konnten, gibt es bislang keine Resultate für den allgemeinen dreidimensionalen Fall, da hier einige fundamentale Einbettungssätze für sogenannte Sobolevräume nicht mehr eingesetzt werden können. Allerdings gibt es für endliche Zeiten oder spezielle, insbesondere kleine, Anfangsdaten auch im dreidimensionalen Fall - vor allem für schwache Lösungen - Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen.

Das Problem des allgemeinen, inkompressiblen Existenzbeweises in drei Dimensionen gehört laut Clay Mathematics Institute zu den wichtigsten ungelösten mathematischen Problemen dieses Jahrhunderts.

In der Praxis gewinnt man analytische Lösungen, indem man die physikalischen Modelle/Randbedingungen vereinfacht (Spezialfälle). Besondere Schwierigkeit bereitet hier die Nichtlinearität der konvektiven Beschleunigung $(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}$. Nützlich ist hierbei die Darstellung mit Hilfe der Vortizität $\mathbf{\omega} = \nabla \times \mathbf{v} = \mathbf{rot}\;\mathbf{v}$:

$(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = \frac{1}{2} \nabla (\|\mathbf{v}\|)^2 - \mathbf{v} \times \mathbf{\omega}$.

Geschlossene analytische Lösungen existieren fast nur für Fälle, in denen der zweite Term verschwindet. Dies ist bei der Annahme, dass bei 3-dimensionalen Strömungen die Wirbel sich immer entlang der Stromline ausbilden (also dem Helmholtz-Wirbelsatz), also $\mathbf{\omega} \| \mathbf{v}$ der Fall. Diese Annahme trifft aber nicht bei allen realen Strömungen zu.

Da die Theorie für praktische Probleme keine Lösungen bereitstellen kann, sind die Navier-Stokes-Gleichungen ein wichtiges Anwendungsfeld der numerischen Mathematik. Der Teilbereich, der sich mit der Konstruktion von numerischen Näherungsverfahren für die Navier-Stokes-Gleichungen beschäftigt, ist die numerische Strömungsmechanik oder Computational Fluid Dynamics (CFD).

Numerische Lösung

Bei der numerischen Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen kommen Verfahren der numerischen Strömungsmechanik zum Einsatz. Als Diskretisierungen werden sowohl Finite-Differenzen-, Finite-Elemente- und Finite-Volumen-Verfahren sowie für spezielle Aufgabenstellungen auch Spektralmethoden und weitere Techniken verwendet. Die Gitter müssen, um die Grenzschicht korrekt auflösen zu können, in Normalenrichtung nahe der Wand extrem fein aufgelöst sein. In Tangentialrichtung wird darauf verzichtet, so dass die Zellen an der Wand extrem große Seitenverhältnisse haben.

Die feine Auflösung zwingt wegen der Einhaltung der CFL-Bedingung (oder auch die DFL-Bedingung) bei expliziter Zeitintegration extrem kleine Zeitschritte. Deswegen werden in der Regel implizite Verfahren eingesetzt. Wegen der Nicht-linearität des Gleichungssystems muss das System iterativ (z. B. mit Mehrgitter- oder Newton-Verfahren) gelöst werden.Die Kombination aus Impuls- und Kontinuitätsgleichung bei den inkompressiblen Gleichungen weist eine Sattelpunktstruktur auf, die hierbei ausgenutzt werden kann.

Ein einfaches Modell zur Simulation von Flüssigkeiten, das im hydrodynamischen Limit die Navier-Stokes-Gleichung erfüllt, ist das FHP-Modell.

Im Bereich der Computergrafik wurden mehrere numerische Lösungsverfahren verwendet, bei denen durch bestimmte Annahmen eine Echtzeit-Darstellung erreicht werden kann, wobei jedoch teilweise die physikalische Korrektheit nicht immer gewährt ist. Ein Beispiel hierfür ist das von Jos Stam entwickelte "Stable Fluids"-Verfahren. Hierbei wurde die Chorin'sche Projektionsmethode für den Bereich der Computergrafik verwendet.

Berechnung von turbulenten Strömungen

Um turbulente Strömungen zu berechnen, können die Navier-Stokes-Gleichungen direkt numerisch berechnet werden. Jedoch erzwingt die Auflösung der einzelnen Turbulenzen ein sehr feines Gitter, so dass dies eigentlich nur in der Forschung unter Zuhilfenahme von Supercomputern und bei kleinen Reynolds-Zahlen möglich ist. In der Praxis hat sich die Lösung der Reynolds-Gleichungen durchgesetzt. Hier ist jedoch ein Turbulenzmodell nötig, um das Gleichungssystem zu schließen. Als Mittelweg gilt die Large Eddy Simulation, die zumindest die großen Wirbel direkt numerisch berechnet und erst die kleinen Skalen über ein Turbulenzmodell simuliert.

Geschichte

1755 leitete Leonhard Euler die Euler-Gleichungen her, mit denen sich das Verhalten reibungsfreier Fluide beschreiben lässt. Voraussetzung dafür war seine bis heute gültige Definition des Drucks in einem Fluid. ^[1] Stokes und Navier formulierten unabhängig voneinander in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts (1827 bzw. 1845) dann den Impulssatz für reibungsbehaftete newtonsche Fluide, wie Wasser, Luft oder Öle in differentieller Form. 1843 veröffentlichte Saint-Venant eine korrekte Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen, zwei Jahre bevor Stokes dies tat, es setzte sich allerdings der Name Navier-Stokes-Gleichungen durch. Auch Poisson veröffentlichte sie 1831. Einen wesentlichen Fortschritt im theoretischen und praktischen Verständnis lieferte Ludwig Prandtl 1904 mit seiner Grenzschichttheorie.

Literatur

• George Keith Batchelor, An introduction to fluid mechanics, Cambridge University Press 2000, ISBN 0-521-66396-2.
• Alexander J. Chorin, Jerold E. Marsden, A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, Third Edition 1998, Springer Verlag
• Pierre-Louis Lions, Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Volume 1 Incompressible Models, 1996, Oxford Science Publications
• Pierre-Louis Lions, Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Volume 2 Compressible Models, 1998, Oxford Science Publications
• Karl Wieghardt, Theoretische Strömungslehre, 1974, Teubner, Stuttgart

Weblinks

• Beschreibung des Millennium Problems Navier-Stokes-Gleichungen (PDF)

Einzelnachweise

1. ↑ Thomas Sonar: Turbulenzen um die Fluidmechanik. Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft, 4 2009, S. 78-87.