Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren kann zum Lösen von Gleichungssystemen genutzt werden. Es ist bei einfachen Gleichungssystemen relativ einfach anzuwenden.

Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen so umgestellt, dass ihre linken Seiten identisch sind und nur eine Variable enthalten, die auf den rechten Seiten nicht vorhanden ist. Anschließend werden die beiden rechten Seiten gleichgesetzt, damit die neu entstehende Gleichung von einer Variablen weniger abhängt.

Beispiel

$\begin{align} & (1) & x + y & = & 3\\ & (2) & x \cdot y & = & 2 \end{align}$

1.Schritt: Die Gleichungen stellt man jetzt nach einer Variablen um, hier nach x. So erhält man folgende Gleichungen:

$\begin{align} & (1') & x & = & 3 - y,\\ & (2') & x & = & \frac{2}{y}. \end{align}$

2.Schritt: Da die linken Seiten identisch sind, muss dies auch für die rechten Seiten gelten. Man setzt daher diese nun gleich und löst die dadurch neu entstehende Gleichung, die nur mehr die Unbekannte y enthält:

$\begin{align} 3 - y & = \frac{2}{y} &| & \cdot y \\ y ( 3 - y ) & = 2 &| & \text{ Klammer aufl}\ddot{\mathrm{o}}\text{sen}\\ 3y - y^2 & = 2 &| & - 3y\\ - y^2 & = 2 - 3y &| & + y^2\\ 0 & = y^2 - 3y + 2 &| & \text{ quadratische Gleichung in der Normalform} \rightarrow \text{L}\ddot{\mathrm{o}}\text{sen}\\ y_1 & = 1, & &\\ y_2 & = 2. & & \end{align}$

Man erhält hier zwei Lösungen für y, was darauf hinweist, dass auch das System zwei Lösungspaare $(x\,|\,y)$ haben kann.

3.Schritt: Diese Lösungen für y setzt man in eine der beiden Ausgangsgleichungen (oder deren umgestellte Variante) ein und berechnet aus dieser das zugehörige x.

$\begin{align} y_1:\quad & x_1 & = & 3 - y_1\\ & x_1 & = & 3 - 1\\ & x_1 & = & 2\\ y_2:\quad & x_2 & = & 3 - y_2\\ & x_2 & = & 3 - 2\\ & x_2 & = & 1\\ \end{align}$

Somit hat das Gleichungssystem zwei Lösungen $(x\,|\,y)$:

$\mathbb{L} = \{(2\,|\,1), (1\,|\,2)\}$

Siehe auch

• Einsetzungsverfahren
• Additionsverfahren

Weblinks

• Das Gleichsetzungsverfahren im Online-Mathematikbuch