Gleichmäßig stetig

Gleichmäßige Stetigkeit ist ein Begriff aus der Analysis. Er bezeichnet einen Spezialfall der Stetigkeit.

Definition

Sei D eine Teilmenge aus $\R$, kurz $D\subseteq\R$.

Eine Abbildung $f:D\rightarrow \R$ heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

$\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x,x_0\in D:\,|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$.

Zur besseren Unterscheidung bezeichnet man die gewöhnliche Stetigkeit, wenn sie in jedem Punkt von D gegeben ist, auch als punktweise Stetigkeit.

Die Besonderheit der gleichmäßigen Stetigkeit besteht darin, dass δ nur von $\varepsilon$ und nicht, wie bei der punktweisen Stetigkeit, noch zusätzlich von der Stelle x₀ abhängt.

Anschaulich bedeutet das: Zu jeder noch so kleinen senkrechten Rechteckseite $\varepsilon$ kann man eine hinreichend kleine waagrechte Rechteckseite δ finden, sodass, wenn man das Rechteck mit den Seiten $\varepsilon;\delta$ geeignet auf dem Funktionsgraphen entlangführt, dieser immer nur die senkrechten Rechtecksseiten schneidet. (Bsp.: Wurzelfunktion auf $[0, \infty)$).

Beispiele

Schaubild der nicht-gleichmäßig stetigen Funktion f(x) = x².

Betrachte die Funktion

$f:\R\mapsto\R^+$ mit f(x) = x² (s. Abbildung).

Diese ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig: Je weiter rechts man zwei Punkte mit einem Abstand kleiner als δ wählt, desto größer wird der Abstand der beiden Funktionswerte. Dies widerspricht der Definition gleichmäßiger Stetigkeit: Unabhängig von den Punkten muss der Abstand der Funktionswerte kleiner als ein vorgegebenes ε sein. Das ist bei dieser Funktion nicht der Fall.

Weiterhin gilt: Jede Einschränkung von f auf ein kompaktes Intervall ist gleichmäßig stetig. Der Beweis lässt sich mit dem Satz von Heine führen.

Ein anderes Beispiel ist die stetige Funktion

$f:\R^+\mapsto\R^+$ mit $f(x) = \sqrt{x}$

die gleichmäßig stetig, sogar hölderstetig, aber nicht lipschitzstetig ist.

Verallgemeinerung: metrische Räume

Allgemeiner wird auch folgende Definition verwendet:

Seien (X,d_x),(Y,d_y) zwei metrische Räume. Eine Abbildung $f:X\rightarrow Y$ heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn

$\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x,x_0\in X:d_x(x, x_0)<\delta\Rightarrow d_y(f(x), f(x_0))<\varepsilon$.

Verallgemeinerung: uniforme Räume

Noch allgemeiner heißt in der Topologie eine Funktion $f: X \to Y$ zwischen zwei uniformen Räumen $(X, \mathcal U_X)$ und $(Y, \mathcal U_Y)$ gleichmäßig stetig, wenn das Urbild jeder Nachbarschaft wieder eine Nachbarschaft ist, wenn also $(f \times f)^{-1}(\mathcal U_Y) \subset \mathcal U_X.$

Eigenschaften

Es gilt: Ist f gleichmäßig stetig auf einer Menge M, dann ist f auch stetig in jedem Punkt $x_0 \in M$ und sogar stetig fortsetzbar auf den Abschluss $\overline{M}$. Umgekehrt gibt es jedoch stetige Funktionen, die nicht gleichmäßig stetig sind.

Ein einfaches Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger Stetigkeit ist der Satz von Heine: Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist gleichmäßig stetig.

Ist $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge im Raum M und ist $f : M \to N$ gleichmäßig stetig, so ist auch $(f(x_n))_{n \in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge in N. Dies gilt im Allgemeinen nicht für Funktionen, die nur stetig sind, wie das Beispiel $M = (0,1), f(x) = \frac1x$ und $x_n = \frac1n$ zeigt.

Im $\mathbb{R}^n$: Polstellen kann es auf einer gleichmäßig stetigen Funktion nicht geben, da bei gegen unendlich strebender Steigung der Abstand der Funktionwerte beliebig groß wird, δ also kein reeller Wert sein kann.

Eine spezielle Form der gleichmäßigen Stetigkeit ist die Lipschitz-Stetigkeit.

Sonstiges

• Gleichmäßige Stetigkeit ist nicht zu verwechseln mit gleichmäßiger Konvergenz, die etwas über die Art der Konvergenz von Funktionenfolgen aussagt.

Siehe auch

• Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit