Alexander Grothendieck

Alexander Grothendieck, 1970

Alexander Grothendieck (* 28. März 1928 in Berlin) ist ein deutschstämmiger französischer Mathematiker. Er ist Begründer einer eigenen Schule der algebraischen Geometrie, deren Entwicklung er in den 1960er Jahren maßgeblich beeinflusste. 1966 wurde ihm der „Nobelpreis für Mathematik“, die Fields-Medaille, verliehen. Nachdem er sich, beeinflusst durch politische Ideen des Pariser Mai 1968, bereits um 1970 weitgehend von seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurückgezogen hatte und z. B. den unter dem Vietnamkrieg leidenden Mathematikern Nordvietnams durch persönlichen Einsatz zu helfen versuchte, verschwand er 1991 völlig aus der Öffentlichkeit. Sein aktueller Aufenthaltsort in den Pyrenäen ist heute nur wenigen Freunden bekannt.

Alexander Grothendiecks mathematische Veröffentlichungen umfassen die Gebiete der Topologie, der algebraischen Geometrie und der Funktionalanalysis. Zu seinen späteren Arbeiten gehören Thesenpapiere und Meditationsschriften aus den Bereichen der Ökologie, Philosophie, Religion und vor allem der Esoterik.

Weil ein Großteil seines Lebens und Wirkens in Frankreich stattfand, wird sein Name oft als Alexandre Grothendieck angegeben, während er selbst stets betonte, seinen ursprünglichen Vornamen beibehalten zu haben. Auf seinem handgeschriebenen Brief, den er am 3. Januar 2010 anlässlich der von ihm selbst gewünschten Entfernung seiner Schriften verfasste^[1], unterschrieb er jedoch mit der französischen Namensform.

Leben und Werk

Herkunft und Jugend

Alexander Grothendieck wurde in Berlin geboren, wo seine Mutter, die norddeutsche Journalistin und Schriftstellerin Johanna "Hanka" Grothendieck (1900-1957), lebte und noch mit einem Mann verheiratet war, der nicht sein Vater war. Sein Vater, Alexander Schapiro, lebte seit 1921 illegal unter dem Namen „Alexander Tanarow“. Er war von chassidischer Herkunft, wurde aber Anarchist und musste, weil er in der ukrainischen Machnobewegung aktiv gewesen war, nach der russischen Oktoberrevolution die Ukraine verlassen und ging nach Berlin. Dort verdiente er seinen Lebensunterhalt als Straßenfotograf und lernte Hanka Grothendieck kennen.

„Schurik“, wie Grothendieck als Kind genannt wurde, verlebte seine frühe Kindheit in Berlin bei seinen Eltern. 1933 floh der Vater vor den Nationalsozialisten nach Paris. Die Mutter folgte ihm einige Monate später und gab den Sohn in die Obhut von Pflegeeltern: Dagmar und Wilhelm Heydorn in Hamburg. Wilhelm Heydorn, ein ehemaliger evangelischer Theologe, der schon 1913 dem atheistischen Monistenbund beigetreten war, blieb auch unter dem Nazi-Regime politisch aktiv. Schurik besuchte die Volksschule und anschließend das Gymnasium in Hamburg-Blankenese.

Seine leiblichen Eltern, Hanka Grothendieck und Alexander Schapiro, engagierten sich unterdessen auf der Seite der anarchosyndikalistischen Gruppen im spanischen Bürgerkrieg.

Nachdem der Knabe 1939 von seinen Eltern nach Frankreich geholt worden war, wurde die Familie 1940 durch die Vichy-Regierung in einem Konzentrationslager interniert. Alexander Schapiro wurde 1942 ins KZ Auschwitz-Birkenau gebracht und dort als eines der ersten Opfer ermordet.

1942 entkam Alexander Grothendieck dem Lager und ging nach Le Chambon-sur-Lignon in den Cevennen; jenem protestantischen Dorf, das während der deutschen Besatzung Frankreichs Juden Unterschlupf gewährte. Er besuchte dort das Collège Cevenol und schloss 1945 mit dem Baccalauréat ab. Nach der Befreiung durch die Alliierten wurden Mutter und Sohn wieder vereint. Sie blieben bis zum Tod der Mutter - sie starb 1957 an einer Tuberkulose, die sie sich während der Internierung zugezogen hatte - eng verbunden.

Studium und Funktionalanalysis

Von 1945 bis 1948 studierte Grothendieck Mathematik in Montpellier, wo er für sich allein Ergebnisse der Maßtheorie und des Lebesgue-Integrals wiederentdeckte. Danach wechselte er den Studienort, zunächst nach Paris an die École normale supérieure, wo er das berühmte Seminar von Henri Cartan besuchte. Da er sich auf Funktionalanalysis spezialisierte, riet ihm dieser Ende 1949 zu Jean Dieudonné und Laurent Schwartz nach Nancy zu gehen. Er schloss 1953 in Nancy mit seiner einflussreichen Dissertation über topologische Vektorräume ab, in der er viele offene Probleme mit abstrakten algebraischen (homologischen) Methoden löste („Tensorprodukte und nukleare Räume“, erschienen in den Memoirs of the American Mathematical Society 1955). Es wird sogar erzählt, dass er alle Probleme einer Liste der vom Pionier der Distributionentheorie und Fields-Medaillisten Laurent Schwartz als wegweisend angesehenen 14 Probleme innerhalb eines Jahres löste. Da in Frankreich für ihn damals keine Stellen in Aussicht waren (er blieb zeitlebens staatenlos^[2], was seine Kandidatur erschwerte), ging er auf Empfehlung von Freunden nach Sao Paulo und an die Universität von Kansas, wo er bis 1956 blieb. Er setzte dort seine Reihe fundamentaler Arbeiten in der Funktionalanalysis fort.

Algebraische Geometrie

Ab 1955 wandte sich Alexander Grothendieck der algebraischen Geometrie zu. Zunächst schrieb er noch in Kansas eine einflussreiche Arbeit über die Theorie Abelscher Kategorien, die im Tohoku Mathem. Journal erschien. Er arbeitete sich im Seminar von Claude Chevalley in Paris in das Thema ein und führte intensive Diskussionen mit Jean-Pierre Serre, auf dessen breites Wissen auch klassischer Resultate er immer wieder zurückgriff (der Briefwechsel der beiden aus dieser Zeit wurde 2003 veröffentlicht). Auch hier versuchte er zuerst die Theorie möglichst weit zu abstrahieren: Sätze über algebraische Varietäten wurden im Rahmen der Kategorientheorie in solche über Abbildungen (Morphismen) zwischen Kategorien von Objekten wie Varietäten und Gruppen umgewandelt. Sein für die damalige mathematische Welt eindrucksvollster Erfolg war die abstrakte Formulierung des Hirzebruch-Riemann-Roch-Theorems, bei dem es um die Dimension des Raums der Vektorbündel über einer Varietät geht (im klassischen Fall einer riemannschen Fläche). Serre hatte schon eine Formulierung als alternierende Summe der Dimensionen der zugehörigen Kohomologiegruppen einerseits gegeben, die in dem Satz durch topologische Invarianten ausgedrückt wird. Der Satz wurde von Friedrich Hirzebruch mit komplizierten topologischen Methoden bewiesen. Grothendieck formulierte und bewies ihn in abstraktem algebraischen Rahmen. Veröffentlicht wurde das Ergebnis in einer Arbeit von Jean-Pierre Serre und Armand Borel 1957 (angeblich war es Grothendieck selbst noch nicht abstrakt genug). In dieser Arbeit liegen auch die Ursprünge der topologischen K-Theorie der 1960er Jahre, entwickelt unter anderem von Michael Atiyah und Hirzebruch besonders in Zusammenhang mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz. Grothendieck schaffte damit auch auf diesem Gebiet den wesentlichen Durchbruch und wurde auf dem ICM in Edinburgh 1958 gebeten, einen der Plenarvorträge zu halten (Titel: The Cohomology theory of abstract algebraic varieties). Hier skizzierte er auch schon sein späteres Programm, eine abstrakte topologische Homologietheorie in der algebraischen Geometrie zu formulieren, die so allgemein ist, dass sie ihre Ergebnisse gleichzeitig sowohl über Körpern wie den komplexen und reellen Zahlen (klassische algebraische Geometrie), als auch über endlichen und p-adischen Körpern (Zahlentheorie) formuliert. Analogien zwischen Zahlkörpern und Funktionenkörpern (algebraische Geometrie), die schon seit dem 19.Jahrhundert bekannt waren (etwa Richard Dedekind, Heinrich Weber, Leopold Kronecker) könnten so in natürlicher Weise eine Erklärung finden (es ist auch noch immer so, dass Sätze, deren Beweis für Zahlkörper zu schwierig ist, erst im einfacheren Fall von „Funktionenkörpern“ bewiesen werden).

Grothendieck arbeitete daran in den nächsten zwölf Jahren intensiv (oft zwölf Stunden am Tag) im Zentrum einer großen Schule von algebraischen Geometern wie Luc Illusie, Michael Artin, Jean-Louis Verdier, Michel Raynaud, Michel Demazure, Jean Giraud, Pierre Deligne, Pierre Gabriel, William Messing und anderen, die sein Programm vorantrieben. Einige Jahre (bis 1960) war er auch im Bourbaki-Kreis aktiv. Ab 1959 war er am Institute des Hautes Etudes Scientifiques (IHES) in Bures-sur-Yvette bei Paris. Auch in den USA, wo er auf Einladung von Oscar Zariski ab 1960 regelmäßig in Harvard Vorlesungen hielt, bildete sich eine Schule: Robin Hartshorne, der ein weit verbreitetes Lehrbuch über Grothendiecks Schema-Zugang zur algebraischen Geometrie schrieb, Barry Mazur, Nicholas Katz und andere. Die algebraische Geometrie wurde um den Begriff des Schema neu aufgebaut, eine Idee die ursprünglich von Pierre Cartier stammt (1957). Das sind Ring-Räume lokal isomorph zu „Spec (A)“, dem Spektrum eines Ringes (Menge der Primideale), die an die Stelle algebraischer Varietäten treten. Spezielle Schemata werden für die verschiedenen in der klassischen algebraischen Geometrie vorkommenden Varietäten verwendet. Um zu seinem Fernziel, dem Beweis der Weil-Vermutungen, zu gelangen, erfand Grothendieck auch noch eine neue Art von Topologie in der algebraischen Geometrie, die nicht wie die schon verwendete Zariski-Topologie algebraische Untervarietäten formalisiert, sondern die Idee der Überlagerungsmannigfaltigkeit über einem Basisraum, wie in der Theorie Riemannscher Flächen oder bei algebraischen Zahlkörpern in der Klassenkörpertheorie. Er nannte diese Topologie Étale Kohomologie (étale frz. für ausgebreitet). Mit Übertragung von Ideen von Solomon Lefschetz aus der klassischen Theorie gelang es Grothendieck, einen Teil der Weil-Vermutungen zu beweisen (Rationalität der Zetafunktion, Funktionalgleichung). Er formulierte eine Reihe von „Standardvermutungen“ über algebraische Zyklen, aus denen diese folgen. Während diese aber bis heute unbewiesen sind, gelang es seinem Mitarbeiter und Schüler Pierre Deligne 1974 doch noch, auf dem von Grothendieck errichteten Theoriengebäude die letzte und schwierigste der Weil-Vermutungen, das Analogon zur Riemannvermutung, zu beweisen. Dabei benutzte er einen Trick aus der klassischen Theorie der Modulfunktionen, auf den Grothendieck alleine wegen seiner begrenzten Literaturkenntnisse nicht gekommen wäre. Als sich Grothendieck den Beweis erklären ließ, war er enttäuscht, dass er nicht über den von ihm vorgezeichneten Weg geführt wurde und verlor jegliches Interesse.

Die Frucht dieser Arbeiten aus den 1960er Jahren sind die Elements de Geometrie Algebrique (EGA), verfasst mit Jean Dieudonné, und die umfangreichen Seminaires de Geometrie Algebrique du Bois Marie (SGA) (Bois Marie heißt der Wald, in dem das IHES liegt) mit verschiedenen Autoren. Auf die Frage, warum man in seinem Seminar an der IHES so wenig Bücher fand, antwortete Grothendieck, sie würden sie dort selber schreiben. Aus Äußerungen von Grothendieck selbst kann man entnehmen, dass er, als sein intensives Bemühen um den Beweis der Weil-Vermutungen gegen Ende der 1960er Jahre auf Hindernisse stieß, um diese Zeit „ausgebrannt“ war. Nachhall finden noch heute (2008) Grothendiecks Ende der 1960er Jahre entwickelte Vermutungen über Zusammenhänge der verschiedenen von der Grothendieck-Schule untersuchten Kohomologie-Theorien (l-adische Kohomologie, kristalline Kohomologie und andere) in der algebraischen Geometrie, die Motive (etwa in Gesprächen mit Yuri Manin, der darüber 1968 einen Aufsatz schrieb). Ein Beispiel aus der klassischen algebraischen Geometrie der Kurven wäre die Zuordnung von speziellen abelschen Varietäten, den Jacobi-Varietäten, zur Kurve und ihrer riemannschen Fläche; im Langlands-Programm werden als Motive Verbindungen zu automorphen Darstellungen vermutet.

Abwendung von der Mathematik

1966 wurde Grothendieck mit der Fields-Medaille, der höchsten Auszeichnung der mathematischen Forschungsgemeinschaft, geehrt. Er lehnte es aber aus politischen Gründen ab, zu der offiziellen Verleihung nach Moskau zu reisen. Schon seit den 1950er Jahren rasierte sich Grothendieck eine Glatze wie sein Vater, den er verehrte, und trug russische Bauernkleider^[3]. Die Studentenbewegung Ende der 1960er Jahre machte ihn politisch aktiv (teilweise wohl auch das Vorbild seines politisch stark engagierten Lehrers Laurent Schwartz), 1967 besuchte er Hanoi und hielt dort Vorlesungen. Sein Haus in Paris war für jeden offen. Ab 1970 begann Grothendieck seinen Rückzug aus der Mathematik und wandte sich zunehmend der Ökologie, der Philosophie und der Esoterik zu. Auch von seiner Position am IHES trat er zurück, als er erfuhr, dass dieses Gelder vom französischen Verteidigungsministerium erhielt. Er ergründete die Religionen, vor allem den Buddhismus, und war Mitbegründer der Gruppe Vivre et Survivre, denen sich zeitweise auch mathematische Freunde wie Claude Chevalley und Pierre Samuel anschlossen. In den folgenden Jahren bekannte er sich immer steter zur alternativen Lebensweise der sechziger und siebziger Jahre: Er lebte zeitweise in einer Kommune.

Die Anfang der 1970er Jahre in Paris gehaltenen Vorlesungen am College de France (wo er nach seinem Weggang vom IHES für zwei Jahre dank der Verwendung von Jean-Pierre Serre eine Professur hatte) und Orsay in Paris nutzte er dazu, über Umweltschutz und Friedenstheorie zu reden, und bekam Schwierigkeiten mit seinen Vorgesetzten. Auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1970 in Nizza verkaufte er die Zeitung seiner Gruppe und eckte bei dem Organisator des Kongresses Jean Dieudonné an, 1973 opponierte er auf der Antwerpen-Konferenz über Modulformen gegen die Finanzierung durch die NATO und verärgerte seinen langjährigen Freund Jean-Pierre Serre.

1974 wurde er Professor in Montpellier und hatte ab 1984 eine Stelle beim nationalen Zentrum für wissenschaftliche Forschung (CNRS) inne. Die Schwierigkeiten, die Grothendieck nach seinem Weggang vom IHES hatte, in Frankreich eine für einen Mathematiker seiner Bedeutung angemessene Stellung zu erhalten, hat zum Beispiel sein ehemaliger Kollege beim IHES David Ruelle später als Skandal empfunden und den Besonderheiten des französischen Universitäts- und Forschungssystems zugeschrieben, in der der Besuch bestimmter Eliteuniversitäten für die Karriere von großer Bedeutung war und ist und in der Grothendieck ein Außenseiter geblieben war^[4]. Er hielt bis 1984 in Montpellier Vorlesungen, allerdings nicht über sein früheres Forschungsprogramm, sondern auf elementarer Ebene – und nach Auskunft ehemaliger Studenten erfolgreich. Mathematische Denkschriften von ihm, die er kursieren ließ, auch in der Hoffnung, beim CNRS eine neue Forschungsgruppe zu leiten, sorgten weiterhin für Aufsehen, so sein Esquisse d'un programme (Skizze eines Programms) von 1983, das von einfachen Graphen auf Riemannflächen (Dessins d'enfants, „Kinderzeichnungen“) und den Wirkungen von Galoisgruppen (speziell der absoluten Galoisgruppe über den rationalen Zahlen) auf diesen handelte. Er schrieb einen offenen Brief an Gerd Faltings und propagierte anabelian geometry, eine neuartige Synthese um die Modulräume algebraischer Kurven. In einem fast 600 Seiten langen „Brief“ (Pursuing stacks, A la poursuite des champs, 1983) an Daniel Gray Quillen, der maßgeblich am Ausbau der von Grothendieck initiierten K-Theorie beteiligt war, zeigte er Interesse an dessen Theorie höherer Kategorien (sein Buch Homotopical algebra von 1967), auf dessen Grundlage er auch eine neue Basis für die Topologie sah (in Einschluss seiner eigenen Vision einer Verallgemeinerung aus den 1960er Jahren, der Topos-Theorie).

Andererseits kursieren Gerüchte über irritierende Äußerungen (goldenes Zeitalter nach einem neuen Holocaust, kleine Abweichungen in den Naturkonstanten seien das Werk des Teufels, Kritisches über ehemalige Kollegen usw.) in seinen Schriften Säen und Ernten (1983–1986) und Der Schlüssel der Träume, in denen er der Idee nachging, Gott würde mit ihm in seinen Träumen reden. Säen und Ernten war ursprünglich als Einleitung zu Pursuing stacks gedacht und sollte seinen neuen Arbeitsstil intuitiver Vermutungen erläutern, entwickelte sich dann aber zu einer komplexen Tagebuch-artigen Gedankensammlung über die unterschiedlichsten Themen. In einem 1000-Seiten-Exkurs (The Burial) beschuldigte er ehemalige Schüler und Mitarbeiter, sein Werk und seinen Arbeitsstil zu Grabe getragen zu haben, indem sie seine Ideen stahlen und seine 1970 hinterlassenen „Baustellen“ nicht weiterentwickelten. In einem La Lettre de la Bonne Nouvelle (Brief der frohen Botschaft) an seine Freunde kündigte er 1990 das baldige Heraufziehen eines „Neuen Zeitalters der Befreiung“ an, nur um die Visionen in einem Brief kurz darauf wieder zurückzunehmen.

Als ihm 1988 der renommierte schwedische Crafoord-Preis verliehen werden sollte, lehnte er den Preis ab. Er begründete dies mit einer Kritik an der Politik von François Mitterrand sowie der mangelnden Ethik und weit verbreiteten moralischen Korruption unter seinen Kollegen (Brief an Le Monde, 4. Mai 1988, auch in Mathematical Intelligencer 1989). Das Verhalten stieß bei der Mehrheit seiner Mathematikerkollegen auf Unverständnis.

1991 verschwand Grothendieck aus dem öffentlichen Leben. Er lebte fortan in vollständiger Isolation, sein genauer Aufenthaltsort ist nur wenigen Vertrauten bekannt.

1995 übergab er dem Mathematiker Malgoire ein 2000-Seiten-Manuskript Les Derivateurs über die Grundlagen der Homotopietheorie. Seinem Studenten Malgoire hatte er auch schon das 1300-Seiten-Manuskript Der lange Marsch durch die Galoistheorie übergeben, entstanden in einem aus ihm und Malgoire bestehenden Seminar 1981 in Montpellier.

Anfang 2010 erklärte Grothendieck in einem Brief, er wünsche, dass seine Schriften nicht mehr publiziert würden. Die Internetseite Grothendieck Circle kam diesem Wunsch nach und entfernte alle Schriften Grothendiecks aus ihrem Angebot.^[1] Auch ein Projekt zu einer Neuausgabe der SGA-Bände scheint vorläufig eingestellt zu sein.

Würdigung

Grothendieck ist ein Theorien-Erbauer par excellence. Er drängt stets zu größtmöglicher Abstraktion unter Verwendung der homologischen Algebra, macht sie dann aber für den Beweis von Theoremen auch fruchtbar. Ein Beispiel ist sein Beweis seiner Version des Riemann-Roch-Theorems in den 1950er Jahren. Grothendieck selbst hatte von vielen Bereichen der klassischen Mathematik (selbst in der algebraischen Geometrie), wie er selbst zugibt, nur geringe Kenntnisse, holte sich die notwendigen Informationen aber in Diskussionen von Freunden wie Jean-Pierre Serre. Das Fernziel seiner Entwicklungen der algebraischen Geometrie, die er solange abstrahierte, bis sie auf gleicher Stufe wie die Zahlentheorie handhabbar war, war der Beweis der Weil-Vermutungen, worin erst sein Schüler und Mitarbeiter Pierre Deligne 1974 erfolgreich war.

Siehe auch

• Grothendieck-Topologie
• Grothendieck-Universum
• Topos (Mathematik)
• Schema (algebraische Geometrie)

Mathematische Veröffentlichungen

• Eine kompakte Übersicht liefert http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/mathtexts.php.

Meditationsschriften

Alexander Grothendieck verfasste diverse, unveröffentlichte Meditationsschriften. Zu seinen wichtigsten gehören:

• Eloge de l'inceste, 1981 (poetisches Werk, verloren)
• Récoltes et Semailles, 1983-85 („Ernten und Säen“)
• La clef des songes – ou dialogue avec le Bon Dieu, 1986 („Der Schlüssel der Träume - ein Dialog mit dem guten Gott“)
• Notes pour La clef des songes, 1987 (Aufzeichnungen zu „Schlüssel der Träume“)

Literatur

• Winfried Scharlau: Wer ist Alexander Grothendieck? Anarchie, Mathematik, Spiritualität, Einsamkeit. Eine Biographie. Von den geplanten vier Bänden sind bisher erschienen:
  • Teil 1: Anarchie. Selbstverlag 2007
  • Teil 3: Spiritualität. Selbstverlag 2010
• Jean-Pierre Serre und Pierre Colmez (Hrsg.): Grothendieck-Serre correspondence, AMS 2003
• Cartier, Illusie, Katz (Hrsg.): Grothendieck Festschrift, 3 Bde., Birkhäuser 1998 (mit Bibliographie seiner Schriften)
• Pierre Cartier: A mad days work - from Grothendieck to Connes and Kontsevich, Bulletin AMS 2001, online hier: Bulletin of the AMS - Volume 38, Number 4
• ders. Grothendieck et les motifs, IHES 2000 preprint, online hier: Pierre Cartier Prepublications
• Leila Schneps, Lochak (Hrsg.): Geometric Galois actions – around Grothendiecks Esquisse d'un programme, London Math.Society Lecture Notes, Cambridge 1997 (mit Grothendiecks Esquisse)
• Pragacz: The life and work of Alexander Grothendieck, American Mathematical Monthly, November 2006
• Robin Hartshorne: Algebraic geometry, Springer 1997 (Standard-Lehrbuch zu Grothendiecks Zugang)

Weblinks

• Literatur von und über Alexander Grothendieck im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
• Alexander Grothendieck. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)
• Grothendieck Circle, dort auch links zu online Arbeiten (z.B. EGA, SGA, Esquisse, Recoltes et semailles)
• Comme Appelé du Néant – As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck von Allyn Jackson, http://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf und http://www.ams.org/notices/200410/fea-grothendieck-part2.pdf
• Scharlau, Poenaru u.a. zu Grothendieck, Notices AMS 2008
• Barry Mazur „What is a motive?“, Notices AMS November 2004, engl., pdf-Datei
• Luc Illusie „What is a topos?“, Notices AMS Oktober 2004, engl., pdf-Datei
• Würdigung von Scharlau anlässlich des 80. Geburtstages DIE ZEIT vom 27. März 2008
• Scharlau u.a. mit Materialien zu seiner geplanten Grothendieck Biographie
• Deutschlandradio Kultur zu Grothendieck

Quellen

1. ↑ ^{a b} Grothendieck’s letter. Sbseminar.wordpress.com (9. Februar 2010). Abgerufen am 16. September 2010.
2. ↑ Annahme der französischen Staatsbürgerschaft hätte Wehrdienst bedeutet
3. ↑ etwa Sylvia Nasar in ihrer John-Nash-Biographie Beautiful mind
4. ↑ Ruelle The mathematicians brain, Princeton University Press 2007, S.40

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