Geodätische

Geodätische
Kürzeste Verbindung auf einer Kugeloberfläche, aufgetragen über dem Gradnetz (Orthodrome)
Geodäten (rot) in einem zweidimensionalen gekrümmten Raum, der in einem dreidimensionalen Raum eingebettet ist

Eine Geodäte (Pl. Geodäten), auch Geodätische, geodätische Linie oder geodätischer Weg genannt, ist die lokal kürzeste Verbindungskurve zweier Punkte.

Im euklidischen Raum sind Geodäten stets Geraden. Relevant ist der Begriff „Geodäte“ erst in gekrümmten Räumen (Mannigfaltigkeiten), wie zum Beispiel auf einer Kugeloberfläche oder anderen gekrümmten Fläche oder auch in der gekrümmten Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie. Man findet die geodätischen Linien mit Hilfe der Variationsrechnung.

Die Einschränkung „lokal“ in der obigen Definition bedeutet, dass eine Geodäte nur dann die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten zu sein braucht, wenn diese Punkte nahe genug beieinander liegen; sie muss aber nicht den global kürzesten Weg darstellen. Beispielsweise ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche stets Teil eines Großkreises, aber die beiden Teile, in die ein Großkreis durch zwei Punkte unterteilt wird, sind beide Geodäten, obwohl nur einer der beiden die „global“ kürzeste Verbindung darstellt.

  • Eine Geodäte auf der (als Kugel genäherten) Erdoberfläche ist stets Teil eines Großkreises; daran orientieren sich transkontinentale Flug- und Schifffahrtsrouten (siehe Orthodrome).
  • Im Sonderfall abwickelbarer Flächen (z. B. Kegel oder Zylinder) sind die Geodäten diejenigen Kurven, die bei der Abwickelung in die Ebene zu Geradenstücken werden.
\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0.
Dabei bezeichnet \nabla den Levi-Civita-Zusammenhang.
Diese Gleichung bedeutet, dass das Geschwindigkeitsvektorfeld der Kurve längs der Kurve konstant ist. Anschaulich ausgedrückt: Wer der Kurve folgt, der geht im Sinne der riemannschen Metrik „geradeaus“.
\ddot x^m+\Gamma^m_{kl}\dot x^k\dot x^l=0
Dabei sind die \Gamma^m_{kl} die Christoffelsymbole und x eine lokale Koordinatendarstellung des entsprechenden Weges.

Diese Differentialgleichungen ergeben sich mit Hilfe der Variationsrechnung.


Die Geodätengleichung

Mit Hilfe der Variationsrechnung lässt sich die Geodätengleichung herleiten. Ausgangspunkt ist dabei die Eigenschaft einer Geodäte, die kürzeste Verbindung zweier Punkte zu sein. Im gekrümmten Raum fragen wir also nach derjenigen Kurve, deren Bogenlänge s bei gegebenen Anfangs- und Endpunkt ein Minimum annimmt, also

s=\int\limits_{P_A}^{P_E}\mathrm{d}s\stackrel{!}=\text{Extremum}.

Die Kurve sei mit dem Parameter λ parametrisiert und das Linienelement ist allgemein gegeben durch ds2 = gikdxidxk. Dabei erhält der Raum, welcher die Kurve beinhaltet, durch den metrischen Tensor gik ein Maß für Winkel und Abstände. Somit erhalten wir aus obigem Ansatz

s=\int\limits_{\lambda_E}^{\lambda_A}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\lambda}\mathrm{d}\lambda=\int\limits_{\lambda_E}^{\lambda_A}\sqrt{g_{ik}\frac{\mathrm{d}x^{i}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}x^{k}}{\mathrm{d}\lambda}}\mathrm{d}\lambda=\text{Extremum}.

Diese Gleichung ist in ihrer Form analog dem Hamiltonprinzip mit einer Lagrangefunktion

\mathcal{L}=\sqrt{g_{ik}\frac{\mathrm{d}x^{i}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\mathrm{d}x^{k}}{\mathrm{d}\lambda}}=\sqrt{g_{ik}x'^{i}x'^{k}}=\sqrt{F},\quad\text{mit}\quad x'^{i}=\frac{\mathrm{d}x^{i}}{\mathrm{d}\lambda}.

Sie muss demnach die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllen, also

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\frac{\partial\mathcal L}{\partial x'^{i}}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{i}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(\frac{1}{2\sqrt{F}}\frac{\partial F}{\partial x'^{i}}\right)-\frac{1}{2\sqrt{F}}\frac{\partial F}{\partial x^{i}}=0

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?
Synonyme:

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Geodätische — Geodäte; geodätische Linie; geodätischer Weg …   Universal-Lexikon

  • Geodätische Uebertragung — nennt man die Berechnung von Breite, Länge und Azimut eines Punktes P der Erde (Sphäroid) auf Grund der gegebenen Koordinaten eines andern Punktes P0 und einer zwischen beiden Punkten ausgeführten Triangulation. Auch die umgekehrte Aufgabe:… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Geodätische Dreiecke — nennt man Dreiecke auf der mathematischen Erdoberfläche (allgemein auf jeder beliebigen krummen Fläche), deren Seiten die kürzenden Linien (geodätische Linien) zwischen den Eckpunkten sind und deren Winkel von den in den Eckpunkten an die… …   Lexikon der gesamten Technik

  • geodätische Linie — Geodätische; Geodäte; geodätischer Weg * * * geodätische Lini|e,   Geodätische, Flächenkurve mit der geodätischen Krümmung null. Bei einer geodätischen Linie fällt in jedem ihrer Punkte die Haupt mit der Flächennormalen zusammen; eine geodätische …   Universal-Lexikon

  • Geodätische Instrumente — Geodätische Instrumente. Die zu den verschiedenen im Art. Geodäsie genannten geodätischen Bestimmungsmethoden erforderlichen Instrumente bezeichnet man allgemein als »geodätische Instrumente«, eine Reihe derselben auch mit Rücksicht auf …   Lexikon der gesamten Technik

  • Geodätische Linie — Geodätische Linie, die kürzeste auf einer Oberfläche liegende Verbindungslinie zwischen zwei Punkten der Oberfläche. So ist die Schraubenlinie eine geodätische Linie auf dem Kreiszylinder, ebenso jeder ebene Schnitt normal zur Achse des Zylinders …   Lexikon der gesamten Technik

  • geodätische Krümmung — geodätische Krümmung,   Krümmung der Orthogonalprojektion (oder Länge der Projektion des Krümmungsvektors) einer Flächenkurve auf die Tangentialebene der Fläche. Die geodätische Krümmung verschwindet, wenn die Kurve eine geodätische Linie ist …   Universal-Lexikon

  • Geodätische Software — ist Software, die bei der Bearbeitung von Aufgabe des Vermessungswesens Verwendung findet. Sie kann in folgende Untergruppen aufgeteilt werden. Inhaltsverzeichnis 1 Geodätisches Rechnen 2 Ausgleichsrechnung 3 Photogrammetrie Software …   Deutsch Wikipedia

  • Geodätische Kuppeln — Eine Geodätische Kuppel, die Biosphère, Ile Ste Hélène, Montreal Geodätische Kuppeln sind Konstruktionen von sphärischen Kuppeln mit einer Substruktur aus Dreiecken. Inhaltsverzeichnis 1 Geschichtliches 2 …   Deutsch Wikipedia

  • Geodätische Kuppel — Eine Geodätische Kuppel von Richard Buckminster Fuller, die Biosphère, Ile Ste Hélène, Montreal …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”