Gebundene Umbenennung

Gebundene Umbenennung

Eine Variable bezeichnet man als frei in einer Formel der Prädikatenlogik, wenn sie in der Formel an wenigstens einer Stelle unquantifiziert (also nicht im Bereich eines Quantors zu dieser Variable) vorkommt. Eine mit einem Quantor (\forall oder \exists) verwendete Variable heißt gebunden. Eine Formel ohne freie Variablen wird geschlossene Formel, Aussage oder Satz genannt.

Ein und dieselbe Variable kann in einer Formel sowohl freie als auch gebundene Vorkommen haben. Die Kenntnis von freien und gebundenen Variablen wird für die Bereinigung von Formeln benötigt.

Freie und gebundene Variablen kommen auch in anderen mathematischen Gebieten vor, z. B. im Lambda-Kalkül. Außerdem enthalten viele mathematische Notationen gebundene Variablen, etwa als Integrationsvariable oder Summationsvariable.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

  • In der (geschlossenen) Formel \forall x P(x) kommt x nicht frei, aber gebunden vor.
  • In der Formel \forall x P(x) \and Q(x,y) ist das Vorkommen von x in P(x) gebunden, das Vorkommen in Q(x,y) und die Variable y sind frei (man beachte, dass sich der Allquantor nur auf die Teilformel P(x) erstreckt).
  • In der Formel \forall x ( P(x) \and Q(x,y)) ist x gebunden und y ist frei.

Weitere Begriffe

  • Gebundene Umbenennung: Eine durch einen Quantor gebundene Variable kann durch eine andere (vorher nicht vorkommende) ersetzt werden, wobei eine logisch äquivalente Formel entsteht. Beispiel: Aus \forall x P(x) \and Q(x,y) entsteht durch gebundene Umbenennung die Formel \forall z P(z) \and Q(x,y).
  • Vollfreie Variable: Eine freie Variable ohne gebundenes Vorkommen nennt man auch vollfrei. Durch gebundene Umbenennung kann man jede Formel in eine logisch äquivalente umformen, in der alle freien Variablen tatsächlich vollfrei sind.

Mathematische Notationen mit gebundenen Variablen

In den folgenden mathematischen Notationen (und vielen weiteren) wird eine gebundene Variable verwendet:

\sum_{i=1}^{n}a_i (Summe endlich vieler Werte)
\bigcup_{i \in I} A_i (Vereinigung einer Familie von Mengen)
\int_a^b f(x)\,\mathrm dx (Bestimmtes Integral)
\lim_{n\to\infty} a_n (Grenzwert einer unendlichen Folge)
\lim_{x \to x_0} f(x) (Grenzwert einer Funktion an der Stelle x0)

Literatur

H.-P. Tuschik, H. Wolter: Mathematische Logik – kurzgefaßt. Spektrum, Akad. Verl., Heidelberg 2002, ISBN 3-8274-1387-7. 


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Gebundene Variable — Eine Variable bezeichnet man als frei in einer Formel der Prädikatenlogik, wenn sie in der Formel an wenigstens einer Stelle unquantifiziert (also nicht im Bereich eines Quantors zu dieser Variable) vorkommt. Eine mit einem Quantor ( oder )… …   Deutsch Wikipedia

  • Freie Variable und gebundene Variable — In der Mathematik und Logik bezeichnet man eine Variable als in einer Formel frei vorkommend, wenn sie in dieser Formel an mindestens einer Stelle nicht im Bereich eines Operator (Mathematik)s auftritt. Sind hingegen alle Vorkommen der Variable… …   Deutsch Wikipedia

  • Freie Variable — Eine Variable bezeichnet man als frei in einer Formel der Prädikatenlogik, wenn sie in der Formel an wenigstens einer Stelle unquantifiziert (also nicht im Bereich eines Quantors zu dieser Variable) vorkommt. Eine mit einem Quantor ( oder )… …   Deutsch Wikipedia

  • Geschlossene Formel — Eine Variable bezeichnet man als frei in einer Formel der Prädikatenlogik, wenn sie in der Formel an wenigstens einer Stelle unquantifiziert (also nicht im Bereich eines Quantors zu dieser Variable) vorkommt. Eine mit einem Quantor ( oder )… …   Deutsch Wikipedia

  • Vollfrei — Eine Variable bezeichnet man als vollfrei in einer Formel der Prädikatenlogik, wenn sie in der Formel an wenigstens einer Stelle vorkommt, aber nirgendwo innerhalb der Formel quantifiziert ist. Die Unterscheidung zwischen freien und vollfreien… …   Deutsch Wikipedia

  • Vollfreie Variable — Eine Variable bezeichnet man als vollfrei in einer Formel der Prädikatenlogik, wenn sie in der Formel an wenigstens einer Stelle vorkommt, aber nirgendwo innerhalb der Formel quantifiziert ist. Die Unterscheidung zwischen freien und vollfreien… …   Deutsch Wikipedia

  • Bereinigte Normalform — In der Prädikatenlogik heißt eine Formel bereinigt, wenn keine Variable sowohl frei als auch gebunden vorkommt, hinter jedem Quantor eine andere Variable steht. Hinweis: Zu jeder Formel gibt es eine bereinigte äquivalente Formel. Jede Formel F… …   Deutsch Wikipedia

  • Typinferenz nach Hindley-Milner — Hindley Milner (HM) ist ein klassisches Verfahren der Typinferenz mit parametrischem Polymorphismus für den Lambda Kalkül. Es wurde erstmals von J. Roger Hindley[1] beschrieben und später von Robin Milner[2] wiederentdeckt. Luis Damas trug eine… …   Deutsch Wikipedia

  • Alpha-Konversion — Der Lambda Kalkül ist eine formale Sprache zur Untersuchung von Funktionen, die Funktionsdefinitionen, das Definieren formaler, sowie das Auswerten und Einsetzen aktueller Parameter regelt. Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Der untypisierte… …   Deutsch Wikipedia

  • Deckungsstock — Mit Sicherungsvermögen bezeichnet man im Versicherungswesen den Teil der Aktiva eines Versicherungsunternehmens, der dazu dient, die Ansprüche der Versicherungsnehmer im Insolvenzfall zu sichern. Es wurde in deutsches Recht aufgrund europäischer… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”