Gamma-Verteilung

Gamma-Verteilung

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die Gammaverteilung \gamma(p,\, b) ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x)=\begin{cases}
               \frac{\displaystyle b^p}{\displaystyle\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & x\geq 0 \\
               0                                                              & x < 0
            \end{cases}

definiert. Sie besitzt die reellen Parameter b und p. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird b > 0 und p > 0 gefordert.

Der Vorfaktor bp / Γ(p) dient der korrekten Normierung; der Ausdruck Γ(p) steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.

Dichte der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für b und p

Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion

F(x)=\begin{cases}
               P(p,b x) & x\geq 0 \\
               0                                                        & x < 0             
            \end{cases},

wobei P(p,\,b x) die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

kumulierte Verteilungsfunktion der Gammaverteilung mit verschiedenen Werten für p und b

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit p und b findet man auch häufig die folgende:

 \alpha=p, \;\; \beta= \frac{1}{b} .

Dichte und Momente ändern sich dabei dementsprechend (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise αβ). Da diese Parametrisierung vor allem im angelsächsischen Raum vorherrscht, wird sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert ab und Varianz ab2 zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

f besitzt an der Stelle x_M=\frac{p-1}{b} ihr Maximum und an den Stellen x_W=x_M\pm \frac{(p-1)^\frac12}{b} Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

\operatorname{E}(X)={p \over b} = \alpha\cdot\beta

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist

\operatorname{Var}(X)={p \over b^{2}} = \alpha \cdot \beta^{2}

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

\operatorname{v}(X) = \frac{2}{\sqrt{p}}.

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen X und Y, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern b und px bzw. py, ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern b und px + py.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-is}\right)^p.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

m_{X}(s) = \left(\frac{b}{b-s}\right)^p.

Summe gammaverteilter Zufallsgrößen

Sind X_1\sim \gamma(p_1,b)\, und X_2\sim \gamma(p_2,b)\, unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe X1 + X2 gammaverteilt, und zwar X_1+X_2\sim\gamma(p_1+p_2,b)\,.

Allgemein gilt: Sind X_i\sim \gamma(p_i,b)\quad i=1,...,n stochastisch unabhängig dann ist X_1+...+X_n\sim\gamma(p_1+...+p_n,b)\,.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Betaverteilung

Wenn die Zufallsvariablen X mit γ(a1,b)und Y mit γ(a2,b) Gamma-verteilt sind mit den Parametern a1,a2 und b, dann ist die Größe \frac{X}{X+Y} Beta-verteilt mit

B(a_1,a_2) = \frac{\gamma(a_1,b)}{\gamma(a_1,b)+\gamma(a_2,b)}.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

  • Die Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p = k / 2 und b = 1 / 2.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter λ und n Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern p = n und b = λ und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des p-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur Exponentialverteilung

  • Die Exponentialverteilung mit dem Parameter λ ist eine Gammaverteilung mit den Parametern p = 1 und b = λ.
  • Die Faltung von Exponentialverteilungen mit demselben λ ergibt eine Gamma-Verteilung.

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist X Gamma-verteilt, dann ist Y = eX Log-Gamma-verteilt.

Literatur

  • Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
  • Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
  • P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, Leipzig 1991

Weblinks


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