Galois-Theorie

Galoistheorie ist der Bereich der Algebra, der klassisch die Symmetrien der Nullstellen von Polynomen, das sind die Lösungen (bzw. Wurzeln) der zugehörigen Polynomgleichung, zum Gegenstand hat. Diese Symmetrien werden normalerweise durch Gruppen von Permutationen beschrieben. Évariste Galois entdeckte, dass diese Symmetrien Aussagen über die Lösbarkeit der Gleichung erlauben. Aus moderner Sicht werden mit der Galoistheorie Körpererweiterungen untersucht.

Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei klassischen Problemen, wie etwa »Welche regulären Polygone lassen sich mit Zirkel und (unmarkiertem) Lineal konstruieren?«, »Warum kann ein Winkel nicht dreigeteilt werden?« (wieder nur mit Zirkel und unmarkiertem Lineal) und »Warum gibt es keine geschlossene Formel zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen fünften oder höheren Grades, die nur mit den vier Grundrechenarten und Wurzelziehen auskommt?« (Der Satz von Abel-Ruffini).

Klassischer Ansatz

Eine »Symmetrie der Nullstellen von Polynomen« ist eine Permutation der Nullstellen, so dass jede algebraische Gleichung über diesen Nullstellen auch dann noch gültig ist, nachdem man die Nullstellen vertauscht hat. Diese Permutationen bilden eine Gruppe. Abhängig von den Koeffizienten, die in den algebraischen Gleichungen erlaubt sind, ergeben sich unterschiedliche Galoisgruppen.

Galois selbst beschrieb eine Methode, mit der eine einzelne von den Nullstellen erfüllte Gleichung konstruiert werden kann (die sog. Galois-Resolvente), so dass die Galois-Gruppe aus den Symmetrien dieser einen Gleichung besteht.

Beispiel

Die Galoisgruppe des Polynoms (x² − 5)² − 24 soll über dem Körper der rationalen Zahlen bestimmt werden. Damit sind bei den algebraischen Gleichungen, welche von den Nullstellen erfüllt werden, nur rationale Zahlen als Koeffizienten erlaubt.

Die Nullstellen des Polynoms sind

$a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$,

$b = \sqrt{2} - \sqrt{3}$,

$c = -\sqrt{2} + \sqrt{3}$,

$d = -\sqrt{2} - \sqrt{3}$.

Es gibt 4! = 24 Möglichkeiten, diese vier Nullstellen zu permutieren, aber nicht alle diese Permutationen gehören zur Galoisgruppe: Alle algebraischen Gleichungen mit ausschließlich rationalen Koeffizienten, die die Variablen a,b,c und d enthalten, müssen unter den Permutationen der Galoisgruppe ihre Gültigkeit bewahren. Eine solche Gleichung ist beispielsweise a + d = 0. Aufgrund dieser Gleichung gehört die Permutation, die a und b gleich lässt und c und d vertauscht, nicht zur Galois-Gruppe, da a auf a und d auf c abgebildet wird, aber a + c nicht gleich 0 ist.

Eine weitere Gleichung, welche die Nullstellen erfüllen, ist (a + b)² = 8. Deshalb können wir (a, b) auf (c, d) abbilden, da wir auch (c + d)² = 8 haben. Aber wir können nicht (a, b) auf (a, c) abbilden, da (a + c)² = 12. Andererseits können wir (a, b) auf (c, d) abbilden, obwohl a + b = 2√2 und c + d = -2√2, da die Gleichung a + b = 2√2 mit √2 eine irrationale Zahl als Koeffizient besitzt, so dass diese Gleichung nicht für die Definition der Galoisgruppe relevant ist.

All diese Anforderungen eliminieren Permutationen aus der Galoisgruppe, so dass diese letztendlich nur die folgenden vier Permutationen enthält und isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ist:

(a, b, c, d) → (a, b, c, d)

(a, b, c, d) → (c, d, a, b)

(a, b, c, d) → (b, a, d, c)

(a, b, c, d) → (d, c, b, a)

Moderner Ansatz

Der moderne Ansatz formuliert die Galoistheorie in der Sprache der algebraischen Strukturen: Ausgehend von einer Körpererweiterung L/K definiert man die Galoisgruppe als die Gruppe aller Körperautomorphismen von L, welche die Elemente von K einzeln festhalten.

Dabei ist L ein kleinster Erweiterungskörper von K, in dem das gegebene Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Er heißt normaler oder Galoisscher Erweiterungskörper von K. Die Galoisgruppe, bestehend aus denjenigen Automorphismen von L, die den Unterkörper K elementweise fest lassen, lässt damit notwendig auch jeden Term fest, dessen Wert ein Element aus K ist.

Im Beispiel oben berechnen wir die Galoisgruppe der Körpererweiterung Q(a,b,c,d)/Q.

Die Kenntnisse über auflösbare Gruppen in der Gruppentheorie erlaubt uns, herauszufinden, ob ein Polynom durch Radikale auflösbar ist, und zwar abhängig davon, ob dessen Galoisgruppe auflösbar ist oder nicht. Jede Körpererweiterung L/K gehört zu einer Faktorgruppe der Hauptreihe der Galoisgruppe. Falls eine Faktorgruppe der Hauptreihe zyklisch von der Ordnung n ist, ist die zugehörige Körpererweiterung eine radikale Erweiterung, und die Elemente von L können als die n-ten Wurzeln eines Elements aus K aufgefasst werden.

Wenn alle Faktorgruppen der Hauptreihe zyklisch sind, wird die Galoisgruppe als auflösbar bezeichnet, und alle Elemente des zugehörigen Körpers können durch sukzessives Wurzelziehen, Produktbilden und Summieren aus den Elementen des Grundkörpers (normalerweise Q) erhalten werden.

Einer der größten Triumphe der Galoistheorie war der Beweis, dass für jedes n>4 ein Polynom mit Grad n existiert, welches nicht durch Radikale auflösbar ist. Dies beruht auf der Tatsache, dass für n>4 die Symmetrische Gruppe S_n einen einfachen nichtzyklischen Normalteiler enthält.

Hauptsatz der Galoistheorie

Wenn L eine endliche Galoiserweiterung des Körpers K ist, und G(L/K) die zugehörige Galoisgruppe, dann ist L galoissch über jedem Zwischenkörper Z, und es existiert eine Bijektion

$\{\mbox{Zwischenk}\mathrm{\ddot o}\mbox{rper}\} \rightarrow \{\mbox{Untergruppen von }G(L/K)\}$

$Z \mapsto G(L/Z)$

Normale Körpererweiterungen M / K entsprechen unter dieser Bijektion Normalteilern von G(L / K). Außerdem gilt:

• $[Z:K] = \frac {|G|}{|G(L/Z)|}$
• $Z \subset Z' \Rightarrow G(L/Z') \subset G(L/Z)$

Verallgemeinerungen

Im Fall einer unendlichen Erweiterung L | K kann man die Automorphismengruppe Aut(L / K) mit der so genannten Krulltopologie (nach W. Krull) versehen. Ist L | K separabel und normal (also eine Galoiserweiterung) gibt es dann eine natürliche Bijektion zwischen Teilerweiterungen $K\subseteq Z\subseteq L$ und abgeschlossenen Untergruppen von G(L / K).

Ist L / K eine nicht notwendigerweise algebraische unendliche Erweiterung, so gibt es keine derartige allgemeine Theorie mehr: Ist beispielsweise L ein vollkommener Körper der Charakteristik p > 0, so ist durch

$F_p\colon L\to L,\quad x\mapsto x^p$

ein Körperautomorphismus definiert, der so genannte Frobeniusautomorphismus. Die von F_p erzeugte Untergruppe H von $\mathrm{Aut}(L|\mathbb{F}_p)$ ist im Allgemeinen »viel« kleiner als die Gruppe der Automorphismen von L, aber es gilt $L^H=\mathbb F_p$. Ist L ein algebraischer Abschluss von $\mathbb{F}_p$, so liegt allerdings die vom Frobeniusautomorphismus erzeugte Untergruppe dicht in $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{F}_p}/\mathbb{F}_p)$, d.h. ihr Abschluss ist gleich der Galoisgruppe.

Ist jedoch L / K eine Körpererweiterung mit L^{Gal(L / K)} = K (das impliziert nicht, dass L/K algebraisch und damit insbesondere nicht galoissch ist), so gilt trotzdem noch: $H\mapsto L^H$ und $M\mapsto \mathrm{Gal}(L/M)$ sind zueinander inverse, inklusionsumkehrende Bijektionen zwischen der Menge der kompakten Untergruppen von Gal(L / K) und der Menge der Zwischenkörper $K\subseteq M\subseteq L$, bei denen L galoissch über M ist.

Es gibt auch eine Verallgemeinerung der Galoistheorie für Ringerweiterungen statt Körpererweiterungen.

Das Umkehrproblem der Galoistheorie

Es ist einfach, Körpererweiterungen mit einer beliebigen vorgegebenen endlichen Gruppe als Galoisgruppe zu konstruieren, wenn man den Grundkörper nicht festlegt. Alle endlichen Gruppen treten daher als Galoisgruppe auf.

Dazu wählt man einen Körper K und eine endliche Gruppe G. Nach dem Satz von Cayley ist G isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf den Elementen von G. Wählt man Variablen $\{X_a\}_{a \in G}$ für jedes Element a von G und adjungiert sie zu K, so erhält man F = K({X_a}). In F enthalten ist der Körper L der symmetrischen rationalen Funktionen in den {X_a}. Dann ist G(F / L) = S _{| G |} , und der Fixkörper M = F^G von F unter G hat Galoisgruppe G = G(F / M) nach dem Hauptsatz der Galoistheorie.

Allerdings ist es ein im Allgemeinen ungelöstes Problem, solch eine Konstruktion für einen festen Grundkörper, etwa Q, auszuführen.

Literatur

• Emil Artin Die Galoissche Theorie, 2003, Harri Deutsch, ISBN 3817117140. (die amerikanische Erstauflage erschien 1948) [Auflage erscheint nicht, laut Verlag]
  Die englische Ausgabe ist noch erhältlich:
  Emil Artin Galois Theory, 1998, Dover Publications, ISBN 0-486-62342-4. Online-Version.
  Eine bahnbrechende, recht moderne Darstellung. Sehr kurz, aber prägnant. Die historische Entwicklung wird allerdings nicht aufgezeigt.
• Jörg Bewersdorff Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, 2004, Vieweg, ISBN 3-528-13192-6.
  Die wohl einfachste Darstellung der Galoistheorie, die sich an der historischen Entwicklung orientiert und die moderne Darstellung erst im letzten Kapitel beschreibt. Enthält viele Beispiele.
• Jean-Pierre Tignol Galois' Theory of Algebraic Equations, World Scientific, 2004, ISBN 981-02-4541-6.
  Orientiert sich ebenfalls an der historischen Entwicklung, legt aber Wert auf eine moderne Herangehensweise und stellt sich somit thematisch zwischen die Bücher von Bewersdorff und Artin. Beschäftigt sich sehr ausgiebig mit den Entwicklungen, die der Entstehung der Galoistheorie vorangingen.
• Siegfried Bosch Algebra, 2001, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4.
• Gunter Malle, Heinrich Matzat, Inverse Galois Theory, Springer-Verlag, ISBN 3-540-62890-8.

Weblinks

• Fields and Galois Theory
  Eine Einführung in die Galoistheorie von J. S. Milne.
• Galois Theory
  Kurze Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse der Galoistheorie.
• The Evariste Galois Archive
  Mehrsprachiges Projekt mit Originaldokumenten von Evariste Galois, einer Kurzbiographie über Galois, einer Liste von Monographien über Galois sowie etlichen Weblinks.
• Die Ideen der Galois-Theorie
  Relativ elementare Einführung in die Galoistheorie von Jörg Bewersdorff.