Fundamentallösung

Eine Fundamentallösung ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit Hilfe einer Fundamentallösung kann man spezielle Lösungen für diese Gleichungen konstruieren.

Definition

Falls L ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten ist, dann ist eine Fundamentallösung G(x) definiert als distributionelle Lösung von

LG(x) = δ(x),

wobei δ(x) die Dirac'sche Delta-Distribution ist.

Anwendung

Falls für einen linearen Differentialoperator L eine Fundamentallösung G bekannt ist, so erhält man eine Lösung u(x) der Gleichung

Lu(x) = f(x)

durch Faltung der Fundamentallösung G mit der rechten Seite f :

$u(x) = (G * f)(x) = \int G(x - y) f(y) dy.$

Theorie

Für viele Differentialgleichungen ist eine Fundamentallösung bekannt, etwa die Poisson-Gleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Wellengleichung und die Helmholtz-Gleichung.

Allgemein gilt der Satz von Ehrenpreis-Malgrange, wonach jede partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung besitzt.

Beispiele

• Die Fundamentallösung des totalen Differentials $\textstyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$ ist die Heaviside-Funktion, siehe auch Delta-Distribution#Ableitung_der_Heaviside-Distribution.
• Die Funktion $\textstyle \frac{1}{\pi}\frac{1}{z}$ ist (im distributionellen Sinn) die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators $\overline{\partial}$.
• Für den Laplace-Operator Δ ist die Green'sche Funktion die Fundamentallösung.

Literatur

• Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).