Frechet-Metrik

Frechet-Metrik

Fréchet-Metrik (nach Maurice René Fréchet) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Sie stellt eine Verbindung zwischen Metrik und Norm her.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei X ein beliebiger Vektorraum. Eine Fréchet-Metrik ist eine Abbildung  \varrho: X \to \mathbb{R} , die für  x,y \in X folgende Bedingungen erfüllt:

  • (1)  \varrho(x)=\varrho (-x)
  • (2)  \varrho (x)\ge 0, wobei \varrho (x)=0\iff x=0
  • (3)  \varrho (x+y)\le \varrho(x)+\varrho(y)

Das heißt, \varrho ist symmetrisch, nichtnegativ und genügt der Dreiecksungleichung.

Anwendungen

  • Durch eine Fréchet-Metrik kann in einem Vektorraum eine Metrik definiert werden vermöge d(x,y):=\varrho(x-y). Dass die so definierte Abbildung eine Metrik ist, folgt direkt aus der Definition der Fréchet-Metrik.
  • Umgekehrt gilt: Jede Metrik d auf einem Vektorraum, die translationsinvariant ist, d.h. d(x + c,y + c) = d(x,y), entsteht durch genau eine solche Fréchet-Metrik.
  • Jede Norm x\mapsto\|x\| auf X ist eine Fréchet-Metrik, denn \|\cdot\| erfüllt offensichtlich die Bedingungen (2) und (3). Die Gültigkeit von (1) folgt aus der Homogenität von Normen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Beispielsweise ist für  X=\mathbb{R}^n die Fréchet-Metrik \varrho(x):=\frac{|x|}{1+|x|} keine Norm, da sie nicht homogen ist.
  • Ein topologischer Vektorraum besitzt genau dann eine Fréchet-Metrik, die seine Topologie erzeugt, wenn er erstabzählbar ist.
  • Wenn ein (reeller oder komplexer) Vektorraum mit Fréchet-Metrik die zusätzlichen Eigenschaften hat, dass er vollständig ist und dass die Topologie dieses Vektorraums lokalkonvex ist, dann handelt es sich um einen Fréchet-Raum.

Literatur

  • H. W. Alt: "Lineare Funktionalanalysis", 4. Aufl., Berlin, Springer, 2002, ISBN 3-540-43947-1.

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Fréchet-Metrik — (nach Maurice René Fréchet) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Sie stellt eine Verbindung zwischen Metrik und Norm her. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anwendungen 3 Literatur 4 …   Deutsch Wikipedia

  • Frechet — Fréchet ist der Name von Maurice René Fréchet (1878 1973), französischer Mathematiker Nach diesem benannt sind: Fréchet Filter, Mengenfilter Fréchet Ableitung, verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der Differentialrechnung auf normierte… …   Deutsch Wikipedia

  • Fréchet — ist der Name von Maurice René Fréchet (1878–1973), französischer Mathematiker Nach diesem benannt sind: Fréchet Filter, Mengenfilter Fréchet Ableitung, verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der Differentialrechnung auf normierte Räume… …   Deutsch Wikipedia

  • Frechet-Raum — Ein Fréchet Raum (nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet) ist ein topologischer Vektorraum (Funktionalanalysis) mit speziellen Eigenschaften. Fréchet Räume können als eine Verallgemeinerung von Banach Räumen angesehen werden.… …   Deutsch Wikipedia

  • Fréchet-Raum — Ein Fréchet Raum (nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet) ist ein topologischer Vektorraum (Funktionalanalysis) mit speziellen Eigenschaften. Fréchet Räume können als eine Verallgemeinerung von Banach Räumen angesehen werden.… …   Deutsch Wikipedia

  • Maximum-Metrik — metrischer Raum berührt die Spezialgebiete Mathematik Topologie Geometrie Analysis hat Eigenschaften von topologischer Raum normaler Raum …   Deutsch Wikipedia

  • Maurice Frechet — Maurice René Fréchet Maurice René Fréchet (* 2. September 1878 in Maligny; † 4. Juni 1973 in Paris) war ein französischer Mathematiker. Fréchet ging am Lycée Buffon in Paris zur Schule, wo Hadamard sein Lehrer war und seine mathematische Begabung …   Deutsch Wikipedia

  • Maurice Fréchet — Maurice René Fréchet Maurice René Fréchet (* 2. September 1878 in Maligny; † 4. Juni 1973 in Paris) war ein französischer Mathematiker. Fréchet ging am Lycée Buffon in Paris zur Schule, wo Hadamard sein Lehrer war und seine mathematische Begabung …   Deutsch Wikipedia

  • Maurice René Fréchet — (* 2. September 1878 in Maligny, Département Yonne; † 4. Juni 1973 in Paris) war ein französischer Mathematiker. Inhaltsverzeichnis …   Deutsch Wikipedia

  • Abstandsfunktion — metrischer Raum berührt die Spezialgebiete Mathematik Topologie Geometrie Analysis hat Eigenschaften von topologischer Raum normaler Raum …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”