Formfunktion

Formfunktionen sind Funktionen, die bei der Methode der finiten Elemente den realen Funktionsverlauf über dem Element bestmöglich annähern. Bedingung dabei ist jedoch die Erfüllung der Stetigkeitsbedingung. Es können deshalb keine Polynome der Art $u(x,y) = c_1 + c_2 \cdot x + c_3 \cdot y$ verwendet werden. Da jedoch die Knotenpunkte von jeweils mindestens zwei Elementen geteilt werden, wird bei Verwendung der Werte in diesen Punkten die Stetigkeitsbedingung erfüllt. Der gesuchte Funktionsverlauf wird durch Interpolation der Werte in diesen Knotenpunkten näherungsweise bestimmt. Um den Funktionsverlauf u(x,y) durch die Knotenpunkte auszudrücken führt man die Formfunktionen ein. Diese besitzen die Eigenschaft, im aktuellen Knoten stets 1 und in den restlichen Knoten 0 zu sein, so dass sich u(x,y) als Summe über die Anzahl der Knoten von $u_i \cdot N_i(x,y)$ ergibt, wobei i die Nummer des Knotens im Element und u den Wert am Knoten darstellt.

Beispiel

Die linearen Formfunktionen für das Einheitsdreieck im ξ,η-Koordinatensystem lauten wie folgt:

$N(\xi ,\eta ) = \begin{pmatrix} 1-\xi - \eta \\ \xi \\ \eta \end{pmatrix}$

Das Einsetzen der jeweiligen Koordinaten der drei Eckpunkte (0,0),(1,0),(0,1) zeigt die gewünschte Funktionalität.

Quellen

• Hans Rudolf Schwarz: Methode der finiten Elemente. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-22349-X

Weblinks

• Finite Elemente Methode, Dr. Feldmann, 1998