Formelsammlung Mechanik


Formelsammlung Mechanik

Inhaltsverzeichnis

Kinematik

Geradlinige Bewegung

v=\frac{s}{t}
v = Geschwindigkeit in m/s
s = Strecke in m
t = Zeit in s

Gleichförmige Kreisbewegung

(v = konstant)
\varphi = \frac{b}{r}
\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}
f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\cdot\pi}
v = r\cdot\omega = 2\cdot\pi\cdot r\cdot f
T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v} = \frac{2\cdot\pi}{\omega}
a_\mathrm{z} = \frac{v^2}{r} = r\cdot\omega^2
b = Bogenlänge in m
r = Radius in m
\varphi = Winkelkoordinate rad (Radiant = keine deklarierte Einheit)
ω = Winkelgeschwindigkeit in rad/s = 1/s
f = Frequenz in 1/s = Hz
v = Bahngeschwindigkeit in m/s
T = Umlaufzeit in s
az = Zentripetalbeschleunigung in m/s^2

Geradlinige gleichförmige Bewegung

\bar v = \frac{\Delta s}{\Delta t}
\bar v = mittlere Geschwindigkeit in m / s
Δs = Strecke in m
Δt = Zeit in s
Mittlere Geschwindigkeiten
Typ m / s
Schnecke 0,002
Fußgänger 1,4
Regentropfen 6
Brieftaube 20
Rennpferd bis 25
Erde bei 0° Breite 464
Gewehrkugel 870
Licht 299.792.458

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + t\,\vec{a}
\vec{x}(t) = \vec{x}_0 + t\,\vec{v}_0 + \frac{1}{2} \,t^2\,\vec{a}
\vec{v}(t)^2 = \vec{v}_0^2 + 2\,a\,(\vec{x}(t) - \vec{x}_0)

mit

\vec x(t) = zeitabhängige Position
\vec x_0 = Anfangsposition
\vec v = zeitabhängige Geschwindigkeit
\vec v_0 = Anfangsgeschwindigkeit
\vec a = Beschleunigung
t = Zeit

Der Spezialfall \vec{a} = (0,0,-g) entspricht dem schrägen Wurf ohne Luftwiderstand. Die Bewegungskomponente in waagerechter Richtung ist dann gleichförmig, während die vertikale Bewegungskomponente eine gleichförmig beschleunigte ist.

Im weiteren Spezialfall einer gleichförmigen Beschleunigung entlang einer Linie vereinfacht sich der Ausdruck als

s(t) = s_0 + v_0\,t + \frac{1}{2}\,a\,t^2
s = Strecke
Mittlere Beschleunigung
Typ m / s²
Personenzug 0,15
U-Bahn 0,60
Personenaufzug 2
Rakete 30

Freier Fall ohne Reibung

 v = g\cdot t = \sqrt{2\cdot g\cdot h}
 t = \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}
v = Geschwindigkeit in m / s
g = Erdbeschleunigung in m / s²
t = Zeit in s
h = Fallhöhe in m
Erdbeschleunigung
Ort m / s²
Äquator 9,78
Nord- und Südpol 9,83
Normwert 9,80665

Freier Fall mit Reibung

Gegeben: Anfangshöhe H, Schwerebeschleunigung g.

Gesucht: Zeitliche Entwicklung von Momentanhöhe h(t), Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung a(t), Grenzgeschwindigkeit v(∞) (negatives Vorzeichen: abwärts gerichtet)

Fall 1: Newton-Reibung

h(t) = H-\frac{m}{\alpha}\ln\left[\cosh\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)\right]
v(t) = -\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}\tanh\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)
a(t) = -\frac{g}{\cosh^2\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)}
v_\mathrm{g} = -\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} = Grenzgeschwindigkeit

Im Newton-Fall ist \alpha = 1/2\cdot c_\mathrm{w}\,\rho\,A, mit

cw = Strömungswiderstandskoeffizient
ρ = Luftdichte
A = Stirnfläche des fallenden Körpers

Beispiel: Fallschirmspringer mit m = 80\,\mathrm{kg},

c_\mathrm{W}\cdot A = 0{,}6\mathrm{m^2} springt aus H = 4000 m aus einem Ballon (Anfangsgeschwindigkeit = 0 m/s). Mittlere Luftdichte = ca. 1 kg/m3, ergo α = 0,3kg / m. Ferner g = 9,8 m/s2.

Nach t = 10 s:

h = 4000\,\mathrm{m} - 332\,\mathrm{m} = 3668\,\mathrm{m},
v = 49\mathrm{\frac{m}{s}}\quad = 96% der Grenzgeschwindigkeit (51 m/s),
a = 0{,}1\,\mathrm{m/s^2}\quad = 1% von g.

Nach t = 1 min ist:

h = 4000\,\mathrm{m}-2882\,\mathrm{m}=1118\,\mathrm{m}


Zur Genauigkeit: Für obiges Beispiel sind die Fehler im Vergleich zum numerisch Integrierten Modell nach Standardatmosphäre, konstantem cw und ρ = ρ(H/2) in h kleiner als 100 m (bzw. 2 s), in v kleiner als 5 m/s und in a kleiner als 0,6 m/s² = 0,06 g. Für größere H nehmen die Fehler wegen ρ(H) stark zu. Schwer quantifizierbare Fehler sind in wegen veränderlicher Körperhaltung (Fallschirmspringer) oder strömungsphysikalisch bedingter Veränderlichkeit von cw (auch z.B. bei starren Kugeln) zu erwarten.

Fall 2: Stokes-Reibung

h(t)=H+\frac{m}{\alpha}g\left[\frac{m}{\alpha}\left(1-e^{-(\alpha/m)t}\right)-t\right]
v(t)=\frac{m}{\alpha}g\left(e^{-(\alpha/m)t}-1\right)
a(t)=-g\,e^{-\frac{\alpha}{m} t}
v_g=-\frac{m}{\alpha}g

Bremsweg mit zwei Reibungskomponenten

Newton- und trockene Reibung

Gegeben sei eine Reibungsverzögerung der Form

{\mathrm{d}v\over\mathrm{d}t}={v\cdot\mathrm{d}v\over\mathrm{d}x}=

\alpha\,v^2+\beta

Dabei α wie im Newton-gebremsten Fall definiert und β die konstante (trockene) Reibung. Dann ist der Bremsweg Δx von v0 auf v1 mit v0v1 ≥ 0

\Delta x(v_0,v_1)={1\over2\alpha}\ln{\alpha v_0^2+\beta\over\alpha v_1^2+\beta}

Stokes- und trockene Reibung

Gegeben sei eine Reibungsverzögerung der Form

{\mathrm{d}v\over\mathrm{d}t}={v\cdot\mathrm{d}v\over\mathrm{d}x}=

\gamma\,v+\beta

Dann ist der Bremsweg Δx von v0 auf v1 mit v0v1 > 0

\Delta x(v_0,v_1)

= \frac{1}{\gamma}\left(
v_0 - v_1 - \frac{\beta}{\gamma}\ln \frac{\gamma v_0 + \beta}{\gamma v_1 + \beta}
\right)

Spulzeit von Tonbändern

Problem: Auffinden einer Bandstelle (in Spielminuten) bei einem Tonband- oder Videorecorder ohne oder nur mit einfachem Zählwerk (Umdrehungszähler).

Bekannte Größen: Bandlänge L in Spielminuten, Umspulzeit bzw. Zählerdifferenz nach vollständigem Umspulen T, Verhältnis des Radius der vollen zur leeren Spule ρ = Rvoll / Rleer.

Für eine beliebige Bandstelle x in Spielminuten ist die Spulzeit (vom Bandanfang) bzw. der Zählerstand dann

t(x) = \frac{T}{\rho-1}\left(\sqrt{\frac{\rho^2-1}{L}x+1}-1\right)
  = A\left(\sqrt{B\,x+1}-1\right)\ .

Analog ist die Spulzeit oder Zählwerksdifferenz von der Position x1 zu x2 gespult werden, so gilt

t(x_1,x_2) = A\left(\sqrt{B\,x_2+1}-\sqrt{B\,x_1+1}\right)\ .

Für eine typische 90-min-Audiocassette ist L = 46 min, ρ = 25/11 und T = 160 s und somit

t(x)\approx 126\left(\sqrt{0{,}091\,x/\mathrm{min}+1}-1\right)\,\mathrm{s}\ .

Dynamik

Kraft

\vec F = m \cdot \vec a
\vec F = Kraft in N
m = Masse in kg
\vec a = Beschleunigung in m / s²

Gewichtskraft

F_\mathrm{G} = m \cdot g
FG = Gewichtskraft in N
m = Masse in kg
g = Fallbeschleunigung in m / s²

Gravitationskraft

F_\mathrm{G} = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2}
FG = Gravitationskraftkraft in N
m1 = Masse des einen Körpers in kg
m2 = Masse des anderen Körpers in kg
r = Entfernung der Schwerpunkte beider Körper voneinander in m
G = Gravitationskonstante \approx 6{,}6726 \cdot 10^{-11} \mathrm{N} \mathrm{m}^2/\mathrm{kg}^2

Reibung

\vec{F}_\mathrm{RT}=-\alpha_\mathrm{T} = trockene Reibung (Gleitreibung)
\vec{F}_\mathrm{RN}=-\alpha_\mathrm{N}\,v\,\vec{v} Newtonsche Reibung
\vec{F}_\mathrm{RS}=-\alpha_\mathrm{N}\,\vec{v} Stokessche Reibung

Hebelgesetz

F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2
F1 = Kraft in N
F2 = Last in N
l1 = Kraftarmlänge in m
l2 = Lastarmlänge in m

Drehmoment

\vec M =\vec r \times\vec  F
\vec M = Drehmoment in Nm
\vec F = Kraft in N
\vec r = Hebelarmlänge in m

Arbeit

W = \vec F \cdot \vec s
W = Arbeit in Nm (1 Nm = 1 J = 1 Ws)
\vec F = Kraft in N
\vec s = Weg in m

Potentielle Energie

Hubarbeit (Gilt nur nahe der Oberfläche eines Himmelskörpers)

Eh = m \cdot g \cdot h
W = Arbeit in Nm (1 Nm = 1 J = 1 Ws)
m = Masse des Körpers in kg
g = Fallbeschleunigung in m / s²
h = Hubhöhe in m

Potentielle Energie in einem Gravitationsfeld

E_\mathrm{pot} = m \cdot g \cdot h \cdot \frac{R}{r} = \frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{r}
Epot = Potentielle Energie in J
M = Masse des Himmelskörpers in kg
R = Radius des Himmelskörpers in m
r = Radius des Himmelskörpers + Hubhöhe (R+h) in m
G = Gravitationskonstante

Siehe hierzu auch: Potentielle Energie.

Maximale potentielle Energie in einem Gravitationsfeld

E_\mathrm{pot.max} = \frac{GMm}{R} = mgR, mit GM = gR2

Potentielle Energie einer gespannten Feder

E_\mathrm{pot} = \frac{1}{2}\cdot D \cdot s^2
D = Federkonstante
s = Auslenkung der Feder aus der Ruhelage

Kinetische Energie

Beschleunigungsarbeit

E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2
Ekin = Arbeit in Nm (1 Nm = 1 J = 1 Ws)
m = Masse in kg
v = Geschwindigkeit in m / s

Leistung

P = \frac{W}{t}
P = Leistung in Nm / s (1 Nm / s = 1 J / s = 1 W)
W = Arbeit in Nm (1 Nm = 1 J = 1 Ws)
t = Zeit in s

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