Formelsammlung Mechanik

Kinematik

Geradlinige Bewegung

$v=\frac{s}{t}$

v = Geschwindigkeit in m/s

s = Strecke in m

t = Zeit in s

Gleichförmige Kreisbewegung

(v = konstant)

$\varphi = \frac{b}{r}$

$\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$

$f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\cdot\pi}$

$v = r\cdot\omega = 2\cdot\pi\cdot r\cdot f$

$T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v} = \frac{2\cdot\pi}{\omega}$

$a_\mathrm{z} = \frac{v^2}{r} = r\cdot\omega^2$

b = Bogenlänge in m

r = Radius in m

$\varphi$ = Winkelkoordinate rad (Radiant = keine deklarierte Einheit)

ω = Winkelgeschwindigkeit in rad/s = 1/s

f = Frequenz in 1/s = Hz

v = Bahngeschwindigkeit in m/s

T = Umlaufzeit in s

a_z = Zentripetalbeschleunigung in m/s^2

Geradlinige gleichförmige Bewegung

$\bar v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

$\bar v$ = mittlere Geschwindigkeit in m / s

Δs = Strecke in m

Δt = Zeit in s

Mittlere Geschwindigkeiten

Typ	m / s
Schnecke	0,002
Fußgänger	1,4
Regentropfen	6
Brieftaube	20
Rennpferd	bis 25
Erde bei 0° Breite	464
Gewehrkugel	870
Licht	299.792.458

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + t\,\vec{a}$

$\vec{x}(t) = \vec{x}_0 + t\,\vec{v}_0 + \frac{1}{2} \,t^2\,\vec{a}$

$\vec{v}(t)^2 = \vec{v}_0^2 + 2\,a\,(\vec{x}(t) - \vec{x}_0)$

mit

$\vec x(t)$ = zeitabhängige Position

$\vec x_0$ = Anfangsposition

$\vec v$ = zeitabhängige Geschwindigkeit

$\vec v_0$ = Anfangsgeschwindigkeit

$\vec a$ = Beschleunigung

t = Zeit

Der Spezialfall $\vec{a} = (0,0,-g)$ entspricht dem schrägen Wurf ohne Luftwiderstand. Die Bewegungskomponente in waagerechter Richtung ist dann gleichförmig, während die vertikale Bewegungskomponente eine gleichförmig beschleunigte ist.

Im weiteren Spezialfall einer gleichförmigen Beschleunigung entlang einer Linie vereinfacht sich der Ausdruck als

$s(t) = s_0 + v_0\,t + \frac{1}{2}\,a\,t^2$

s = Strecke

Mittlere Beschleunigung

Typ	m / s²
Personenzug	0,15
U-Bahn	0,60
Personenaufzug	2
Rakete	30

Freier Fall ohne Reibung

$v = g\cdot t = \sqrt{2\cdot g\cdot h}$

$t = \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}$

v = Geschwindigkeit in m / s

g = Erdbeschleunigung in m / s²

t = Zeit in s

h = Fallhöhe in m

Erdbeschleunigung

Ort	m / s²
Äquator	9,78
Nord- und Südpol	9,83
Normwert	9,80665

Freier Fall mit Reibung

Gegeben: Anfangshöhe H, Schwerebeschleunigung g.

Gesucht: Zeitliche Entwicklung von Momentanhöhe h(t), Geschwindigkeit v(t) und Beschleunigung a(t), Grenzgeschwindigkeit v(∞) (negatives Vorzeichen: abwärts gerichtet)

Fall 1: Newton-Reibung

$h(t) = H-\frac{m}{\alpha}\ln\left[\cosh\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)\right]$

$v(t) = -\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}\tanh\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)$

$a(t) = -\frac{g}{\cosh^2\left(\sqrt{\frac{\alpha g}{m}}\cdot t\right)}$

$v_\mathrm{g} = -\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}$ = Grenzgeschwindigkeit

Im Newton-Fall ist $\alpha = 1/2\cdot c_\mathrm{w}\,\rho\,A$, mit

c_w = Strömungswiderstandskoeffizient

ρ = Luftdichte

A = Stirnfläche des fallenden Körpers

Beispiel: Fallschirmspringer mit $m = 80\,\mathrm{kg}$,

$c_\mathrm{W}\cdot A = 0{,}6\mathrm{m^2}$ springt aus H = 4000 m aus einem Ballon (Anfangsgeschwindigkeit = 0 m/s). Mittlere Luftdichte = ca. 1 kg/m³, ergo α = 0,3kg / m. Ferner g = 9,8 m/s².

Nach t = 10 s:

$h = 4000\,\mathrm{m} - 332\,\mathrm{m} = 3668\,\mathrm{m}$,

$v = 49\mathrm{\frac{m}{s}}\quad$ = 96% der Grenzgeschwindigkeit (51 m/s),

$a = 0{,}1\,\mathrm{m/s^2}\quad$ = 1% von g.

Nach t = 1 min ist:

$h = 4000\,\mathrm{m}-2882\,\mathrm{m}=1118\,\mathrm{m}$

Zur Genauigkeit: Für obiges Beispiel sind die Fehler im Vergleich zum numerisch Integrierten Modell nach Standardatmosphäre, konstantem c_w und ρ = ρ(H/2) in h kleiner als 100 m (bzw. 2 s), in v kleiner als 5 m/s und in a kleiner als 0,6 m/s² = 0,06 g. Für größere H nehmen die Fehler wegen ρ(H) stark zu. Schwer quantifizierbare Fehler sind in wegen veränderlicher Körperhaltung (Fallschirmspringer) oder strömungsphysikalisch bedingter Veränderlichkeit von c_w (auch z.B. bei starren Kugeln) zu erwarten.

Fall 2: Stokes-Reibung

$h(t)=H+\frac{m}{\alpha}g\left[\frac{m}{\alpha}\left(1-e^{-(\alpha/m)t}\right)-t\right]$

$v(t)=\frac{m}{\alpha}g\left(e^{-(\alpha/m)t}-1\right)$

$a(t)=-g\,e^{-\frac{\alpha}{m} t}$

$v_g=-\frac{m}{\alpha}g$

Bremsweg mit zwei Reibungskomponenten

Newton- und trockene Reibung

Gegeben sei eine Reibungsverzögerung der Form

${\mathrm{d}v\over\mathrm{d}t}={v\cdot\mathrm{d}v\over\mathrm{d}x}= \alpha\,v^2+\beta$

Dabei α wie im Newton-gebremsten Fall definiert und β die konstante (trockene) Reibung. Dann ist der Bremsweg Δx von v₀ auf v₁ mit v₀ ≥ v₁ ≥ 0

$\Delta x(v_0,v_1)={1\over2\alpha}\ln{\alpha v_0^2+\beta\over\alpha v_1^2+\beta}$

Stokes- und trockene Reibung

Gegeben sei eine Reibungsverzögerung der Form

${\mathrm{d}v\over\mathrm{d}t}={v\cdot\mathrm{d}v\over\mathrm{d}x}= \gamma\,v+\beta$

Dann ist der Bremsweg Δx von v₀ auf v₁ mit v₀ ≥ v₁ > 0

$\Delta x(v_0,v_1) = \frac{1}{\gamma}\left( v_0 - v_1 - \frac{\beta}{\gamma}\ln \frac{\gamma v_0 + \beta}{\gamma v_1 + \beta} \right)$

Spulzeit von Tonbändern

Problem: Auffinden einer Bandstelle (in Spielminuten) bei einem Tonband- oder Videorecorder ohne oder nur mit einfachem Zählwerk (Umdrehungszähler).

Bekannte Größen: Bandlänge L in Spielminuten, Umspulzeit bzw. Zählerdifferenz nach vollständigem Umspulen T, Verhältnis des Radius der vollen zur leeren Spule ρ = R_voll / R_leer.

Für eine beliebige Bandstelle x in Spielminuten ist die Spulzeit (vom Bandanfang) bzw. der Zählerstand dann

$t(x) = \frac{T}{\rho-1}\left(\sqrt{\frac{\rho^2-1}{L}x+1}-1\right) = A\left(\sqrt{B\,x+1}-1\right)\ .$

Analog ist die Spulzeit oder Zählwerksdifferenz von der Position x₁ zu x₂ gespult werden, so gilt

$t(x_1,x_2) = A\left(\sqrt{B\,x_2+1}-\sqrt{B\,x_1+1}\right)\ .$

Für eine typische 90-min-Audiocassette ist L = 46 min, ρ = 25/11 und T = 160 s und somit

$t(x)\approx 126\left(\sqrt{0{,}091\,x/\mathrm{min}+1}-1\right)\,\mathrm{s}\ .$

Dynamik

Kraft

$\vec F = m \cdot \vec a$

$\vec F$ = Kraft in N

m = Masse in kg

$\vec a$ = Beschleunigung in m / s²

Gewichtskraft

$F_\mathrm{G} = m \cdot g$

F_G = Gewichtskraft in N

m = Masse in kg

g = Fallbeschleunigung in m / s²

Gravitationskraft

$F_\mathrm{G} = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2}$

F_G = Gravitationskraftkraft in N

m1 = Masse des einen Körpers in kg

m2 = Masse des anderen Körpers in kg

r = Entfernung der Schwerpunkte beider Körper voneinander in m

G = Gravitationskonstante $\approx 6{,}6726 \cdot 10^{-11} \mathrm{N} \mathrm{m}^2/\mathrm{kg}^2$

Reibung

$\vec{F}_\mathrm{RT}=-\alpha_\mathrm{T}$ = trockene Reibung (Gleitreibung)

$\vec{F}_\mathrm{RN}=-\alpha_\mathrm{N}\,v\,\vec{v}$ Newtonsche Reibung

$\vec{F}_\mathrm{RS}=-\alpha_\mathrm{N}\,\vec{v}$ Stokessche Reibung

Hebelgesetz

$F_1 \cdot l_1 = F_2 \cdot l_2$

F₁ = Kraft in N

F₂ = Last in N

l₁ = Kraftarmlänge in m

l₂ = Lastarmlänge in m

Drehmoment

$\vec M =\vec r \times\vec F$

$\vec M$ = Drehmoment in Nm

$\vec F$ = Kraft in N

$\vec r$ = Hebelarmlänge in m

Arbeit

$W = \vec F \cdot \vec s$

W = Arbeit in Nm (1 Nm = 1 J = 1 Ws)

$\vec F$ = Kraft in N

$\vec s$ = Weg in m

Potentielle Energie

Hubarbeit (Gilt nur nahe der Oberfläche eines Himmelskörpers)

$Eh = m \cdot g \cdot h$

W = Arbeit in Nm (1 Nm = 1 J = 1 Ws)

m = Masse des Körpers in kg

g = Fallbeschleunigung in m / s²

h = Hubhöhe in m

Potentielle Energie in einem Gravitationsfeld

$E_\mathrm{pot} = m \cdot g \cdot h \cdot \frac{R}{r} = \frac{GMm}{R}-\frac{GMm}{r}$

E_pot = Potentielle Energie in J

M = Masse des Himmelskörpers in kg

R = Radius des Himmelskörpers in m

r = Radius des Himmelskörpers + Hubhöhe (R+h) in m

G = Gravitationskonstante

Siehe hierzu auch: Potentielle Energie.

Maximale potentielle Energie in einem Gravitationsfeld

$E_\mathrm{pot.max} = \frac{GMm}{R} = mgR$, mit GM = gR²

Potentielle Energie einer gespannten Feder

$E_\mathrm{pot} = \frac{1}{2}\cdot D \cdot s^2$

D = Federkonstante

s = Auslenkung der Feder aus der Ruhelage

Kinetische Energie

Beschleunigungsarbeit

$E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

E_kin = Arbeit in Nm (1 Nm = 1 J = 1 Ws)

m = Masse in kg

v = Geschwindigkeit in m / s

Leistung

$P = \frac{W}{t}$

P = Leistung in Nm / s (1 Nm / s = 1 J / s = 1 W)

W = Arbeit in Nm (1 Nm = 1 J = 1 Ws)

t = Zeit in s