Fixpunktsatz von Lefschetz

Der Fixpunktsatz von Lefschetz ist eine Existenzaussage über Fixpunkte von gewissen stetigen Abbildungen. Grundlage des von Solomon Lefschetz 1926 bewiesenen^[1] Satzes ist die sogenannte Lefschetz-Zahl, bei der es sich um eine Homotopie-Invariante handelt, die mit Hilfe relativ abstrakter Konzepte der algebraischen Topologie definiert ist.

Eine Verschärfung des Fixpunktsatzes ist die Fixpunktformel von Lefschetz, bei welcher die Lefschetz-Zahl als Summe über Fixpunktindizes ausgedrückt wird. Als Spezialfall des Lefschetz’schen Fixpunktsatz ergibt sich der Fixpunktsatz von Brouwer und eine weitreichende Verallgemeinerung dieses Satzes ist der Fixpunktsatz von Atiyah und Bott aus dem Bereich der Globalen Analysis.

Lefschetz-Zahl

Die Lefschetz-Zahl lässt sich für jede stetige Selbstabbildung

$f: X \rightarrow X\,$

auf einem topologischen Raum X definieren, deren sämtliche Betti-Zahlen, das sind die Dimensionen der als Vektorräume aufgefassten singulären Homologie-Gruppen, endlich sind:

$\Lambda_f:=\sum_{k\geq 0}(-1)^k\mathrm{Tr}(f_k|H_k(X,\mathbb{Q})),$

Bei den Summanden der alternierenden Summe handelt es sich um die Spuren der auf den Homologie-Gruppen durch f induzierten Homomophismen f_k. Lefschetz-Zahlen sind grundsätzlich ganze Zahlen. Aufgrund ihrer Definition ändern sie sich nicht beim Übergang zu einer homotopen Abbildung.

Die Lefschetz-Zahl zur identischen Abbildung ist gleich der Euler-Charakteristik

$\chi(X) = \,\Lambda_{\mathrm{id}}.$

Fixpunktsatz von Lefschetz

Beispielsweise im Fall, dass der topologische Raum eine endliche Triangulierung K besitzt (er ist dann insbesondere kompakt), kann die Lefschetz-Zahl bereits auf dem Niveau des zugeordneten endlichen Ketten-Komplexes $C_*(K,\mathbb{Q})$ berechnet werden. Konkret gilt für eine simpliziale Approximation f^K der Abbildung f die sogenannte Lefschetz-Hopfsche-Spurformel^[2]

$\Lambda_f=\sum_{k\geq 0}(-1)^k\mathrm{Tr}(f^K_k|C_k(K,\mathbb{Q})).$

Bei einer fixpunktfreien Selbstabbildung f, das heißt einer Abbildung f ohne Punkte x mit f(x) = x, kann dann mittels einer genügend verfeinerten Triangulierung Λ_f = 0 nachgewiesen werden.

Umgekehrt muss damit jede Selbstabbildung f mit einer Lefschetz-Zahl Λ_f ≠ 0 mindestens einen Fixpunkt besitzen. Dies ist die Aussage des Fixpunktsatzes von Lefschetz.

Fixpunktformel von Lefschetz

Die Lefschetz-Zahl einer Abbildung hängt nur von deren Verhalten in Umgebungen der Fixpunkt-Komponenten ab. Besitzt die Abbildung f nur isolierte Fixpunkte, kann die Lefschetz-Zahl durch die Formel

$\Lambda_f = \sum_{x \in \mathrm{Fix}(f)} i(f,x)$

ausgedrückt werden. Dabei bezeichnet Fix(f) die endliche Menge der isolierten Fixpunkte und i(f,x) den Fixpunkt-Index zum Fixpunkt x.

Der Fixpunkt-Index kann als Multiplizität des betreffenden Fixpunktes aufgefasst werden: Ist x ein im Inneren gelegener Fixpunkt eines Polyeders X, dann ist sein Fixpunkt-Index i(f,x) gleich dem Abbildungsgrad der auf einer kleinen Sphäre um x definierten Abbildung

$g(y) = \frac{y - f(y)}{|| y - f(y) ||}.$

Der Fixpunktsatz von Brouwer als Spezialfall

Da bei der abgeschlossenen n-dimensionalen Einheitskugel Dⁿ für k ≥ 1 alle Homologie-Gruppen H_k(Dⁿ, Q) verschwinden, ist die Lefschetz-Zahl jeder Selbstabbildung auf Dⁿ gleich 1. Jede solche Abbildung muss also mindestens einen Fixpunkt besitzen.

Einzelnachweise

1. ↑ S. Lefschetz: Intersections and transformations of complexes and manifolds, Transactions American Mathematical Society 1926, Bd.28, S.1-49 (Online)
2. ↑ Heinz Hopf: A new proof of the Lefschetz formula on invariant points, Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, Bd. 14 (1928), S. 149-153 (Online)

Weblinks

• Algebraische Topologie und Fixpunkte. Einführender Überblicksartikel von Jörg Bewersdorff. (PDF-Datei; 179 kB)

Literatur

• Robert F. Brown: Fixed Point Theory. In: I. M. James: History of Topology. Elsevier, Amsterdam u. a. 1999, ISBN 0-444-82375-1, S. 271–299.