Fixpunktsatz von Brouwer

Der Fixpunktsatz von Brouwer ist eine Aussage aus der Mathematik. Er ist nach dem niederländischen Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer benannt und besagt, dass die Vollkugel Dⁿ die Fixpunkteigenschaft hat. Mit Hilfe dieser Aussage kann man Existenzaussagen über Lösungen reeller, nichtlinearer Gleichungssysteme machen.

Aussage

Mit $D^n = \{x \in \R^{n+1} : \|x\| \leq 1 \}$ wird die n-dimensionale Vollkugel bezeichnet. Dann besitzt jede stetige Selbstabbildung von Dⁿ in sich selbst mindestens einen Fixpunkt.

In Quantorenschreibweise lässt sich die Aussage durch

$\forall f \in C(D^{n},D^{n}): \exists x \in D^n : f(x) = x$

darstellen.

Beweisidee

Mittels des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß kann man sich auf $\mathcal C^1$-Funktionen beschränken.

Nun nimmt man an, f habe keinen Fixpunkt. Dann ist $F: D^n\to S^{n-1}$, gegeben durch

$F(x):=x + \left( \sqrt{1-|x|^2 + \left\langle x,\frac{x-f(x)}{|x-f(x)|} \right\rangle^2 } - \left\langle x, \frac{x-f(x)}{|x-f(x)|} \right\rangle \right) \frac{x-f(x)}{|x-f(x)|}$,

Illustration von F in D²

eine wohldefinierte und glatte Abbildung, die jedem Punkt in der Vollkugel einen Schnittpunkt der Gerade durch x und f(x) mit der Sphäre zuordnet. F ist insbesondere eine Retraktion, d.h., für alle $x\in S^{n-1}$ gilt F(x) = x.

Dies führt man auf einen Widerspruch, indem man zunächst zeigt, dass für $\omega^{n-1}:= F^1\, \mathrm dF^2\wedge\cdots\wedge \mathrm dF^n$ gilt: dω^{n − 1} = 0. Dies sieht man leicht ein, da die Determinante der Jacobi-Matrix von F nach dem Satz von der inversen Funktion 0 sein muss.

Also gilt:

$0 = \int_{D^n} \mathrm d\omega^{n-1} = \int_{S^{n-1}} \omega^{n-1}$

nach dem Satz von Stokes. Auf der Sphäre ist F aber die Identität. Damit gilt also (wieder nach dem Satz von Stokes):

$= \int_{S^{n-1}} x_1 \mathrm dx^2 \wedge \cdots \wedge \mathrm dx^n = {\rm vol}(D^n) \neq 0$.

Verallgemeinerung

Mittels einer stetigen Transformation auf das Simplex, das homöomorph zur Vollkugel ist, lässt sich die Aussage des Satzes auf beliebige kompakte, konvexe Mengen in einem endlichdimensionalen Banachraum übertragen:

Sei f eine stetige Abbildung von einer nichtleeren, kompakten, konvexen Teilmenge eines endlichdimensionalen Banachraumes in sich selbst. Dann hat f einen Fixpunkt.

Auch diese Aussage wird manchmal als Fixpunktsatz von Brouwer bezeichnet, siehe hierzu auch seine Verallgemeinerung zum Fixpunktsatz von Schauder.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 5. durchgesehene Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 593.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Brouwer Fixed Point Theorem. In: MathWorld. (englisch)
• Skript zur Mengentheoretische Topologie (im PDF-Format, deutsch) (1,72 MB)