Fixpunktsatz von Banach

Der Fixpunktsatz von Banach, auch Banachscher Fixpunktsatz, (nach Stefan Banach) ist ein Satz aus der Mathematik. Er enthält eine Existenz- und Eindeutigkeitsaussage für Fixpunktprobleme, sowie Konvergenzaussagen und Fehlerabschätzungen einer durch die sogenannte Fixpunktiteration generierten Folge.

Eine Veranschaulichung des Satzes liefert eine Landkarte, auf der die Umgebung, in der man sich befindet, abgebildet ist. Sieht man diese Karte als Kontraktion der Umgebung, so findet man genau einen Punkt auf der Karte, der mit dem direkt darunter liegenden Punkt in der realen Welt übereinstimmt.

Aussagen des Fixpunktsatzes

Existenz und Eindeutigkeit: Eine Kontraktion $\varphi: M \to M$ eines (nichtleeren) vollständigen metrischen Raumes M besitzt genau einen Fixpunkt, also einen Punkt $\xi \in M$ mit φ(ξ) = ξ.

Dabei ist:

• zum Beispiel jeder Banach-Raum, und unter diesen jeder normierte endlichdimensionale reelle oder komplexe Vektorraum, ein vollständiger metrischer Raum,
• eine Kontraktion eine Abbildung $\varphi: M \to M$, welche Lipschitz-stetig mit einer Konstanten $0\leq\lambda<1$ ist.

Konstruktion: Für jeden Startwert $x_0 \in M$ konvergiert die Folge (x_n) mit x_{n + 1}: = φ(x_n) gegen ξ.

Fehlerabschätzung: Es gibt die folgenden Abschätzungen für den Abstand des Fixpunktes zur rekursiven Folge:

• A-priori-Abschätzung

$d(x_n,\xi)\le\frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1)$ (u.a. auch für n=0)

für den n-ten Fehler durch die ersten beiden Folgenglieder und die

• A-posteriori-Abschätzung

$d(x_n,\xi)\le\frac{\lambda}{1-\lambda}d(x_{n-1},x_n)$

für den n-ten Fehler durch die beiden zuletzt bestimmten Folgenglieder.

$0\leq\lambda<1$ ist dabei die Kontraktionskonstante bzw. Lipschitz-Konstante.

Bemerkung: Oft wird dieser Satz nicht allgemein auf (vollständigen) metrischen Räumen, sondern auf einem Banach-Raum B, also einem vollständigen normierten Vektorraum, oder einer Teilmenge M⊆B davon formuliert. Der einzige Unterschied ist, dass der Abstand dann durch die Norm der Differenz erklärt ist, $d(x,y):=\|y-x\|$.

Zum Beweis

Beweisidee für normierte Räume

Um den Beweisgang zu verstehen, ist es hilfreich, zunächst in einem Banach-Raum zu operieren. Die eigentlichen Beweisschritte können dann auch im metrischen Raum vollzogen werden. Wir konstruieren die rekursive Folge x_{n + 1}: = φ(x_n) mit irgendeinem Startpunkt $x_0\in B$. Diese fassen wir als Partialsummen einer (Teleskop-)Reihe auf, deren Glieder die Differenzen a_n = x_{n + 1} − x_n sind, $\textstyle x_n-x_0=\sum_{k=0}^{n-1}a_k$. Von der Reihe zeigen wir, dass sie eine geometrische Reihe als Majorante hat. Wegen der Vollständigkeit des Raumes folgt daraus die Konvergenz der Reihe, der Punkt $\textstyle \xi:=x_0+\sum_{k=0}^\infty a_k$ ist der gesuchte Fixpunkt.

Beweis im metrischen Raum

Wir betrachten das Problem im vollständigen metrischen Raum. Wieder konstruieren wir die rekursive Punktfolge über x_{n + 1} = φ(x_n). Analog zur Majorante der Reihe kann man nun versuchen, eine Majorante $(b_n)_{n\in\N}\subset\R$ der Folge $(x_n)_{n\in\N}$ zu finden in dem Sinne, dass die Zuwächse der x-Folge durch die Zuwächse der b-Folge beschränkt sind,

$d(x_{n+1},\,x_n)\le b_{n+1}-b_n$.

Daraus folgt dann via mehrfacher Anwendung der Dreiecksungleichung, dass die Abstände beliebiger zweier x-Folgenglieder durch den entsprechenden Abstand der b-Folge beschränkt sind,

$d(x_{n+p},\,x_n) \le\sum_{k=n}^{n+p-1}d(x_{k+1},\,x_k) \le\sum_{k=n}^{n+p-1}(b_{k+1}-b_k)=b_{n+p}-b_n\ .$

Aus der Konvergenz der b-Folge gegen einen Grenzwert $\beta:=\lim_{n\to\infty}b_n$ folgt nun direkt, dass die x-Folge eine Cauchy-Folge ist. Diese hat dann wegen der Vollständigkeit des metrischen Raumes einen Grenzwert $\xi:=\lim_{n\to\infty}x_n$. Die Konvergenz gegen diesen Grenzwert kann wieder abgeschätzt werden, es ist

$d(\xi,x_n)\le \beta-b_n$

Es ist also aus der Voraussetzung der Kontraktivität der Fixpunktabbildung φ eine monoton wachsende, konvergente Folge $(b_n)_{n\in\N}\subset\R$ zu bestimmen, deren Zuwächse diejenigen der x-Folge majorisieren. Es stellt sich heraus, dass diese Zuwächse als geometrische Folge gewählt werden können, denn aus

$d(x_{n+2},\,x_{n+1}) =d\left(\varphi(x_{n+1}),\,\varphi(x_{n})\,\right) \le\lambda d(x_{n+1},x_{n})$

folgt durch vollständige Induktion

$d(x_{n+p+1},\,x_{n+p})\le\lambda^p\, d(x_{n+1},x_{n})$,

insbesondere also

$d(x_{n+1},\,x_{n}) \le \lambda^n\, d(x_{1},x_{0}) \overset{!}{=} b_{n+1}-b_n$.

Daher kann man als b-Folge die Folge der Partialsummen einer geometrischen Reihe wählen, genauer

$b_n := \sum_{k=0}^{n-1}\lambda^k\, d(x_{1},x_{0}) = \frac{1-\lambda^n}{1-\lambda}\, d(x_{1},x_{0}).$

Diese hat den Grenzwert

$\beta = \lim_{n\to\infty} b_n = \frac{1}{1-\lambda}\, d(x_{1},x_{0}).$

Daraus folgt nun, wie oben angegeben, die Konvergenz der x-Folge gegen einen Grenzwert $\xi:=\lim_{n\to\infty}x_n$. Für die Abschätzungen erhalten wir

$d(\xi,\,x_n)\le\beta-b_n=\frac{\lambda^n}{1-\lambda}\, d(x_{1},x_{0})$

Bildet man in dieser Ungleichung den Grenzwert bzgl. n, so folgt

$d\left(\xi,\,\varphi(\xi)\right) =\lim_{n\to\infty}d\left(\xi,\,\varphi(x_{n-1})\right) =\lim_{n\to\infty}d(\xi,\,x_{n})=0 ,$

also ist ξ = φ(ξ) tatsächlich ein Fixpunkt.

Für einen weiteren möglichen Fixpunkt η gilt $d(\eta,\xi)=d(\varphi(\eta),\varphi(\xi))\le\lambda d(\eta,\xi)$, was nur bei η = ξ möglich ist, d.h. es gibt genau einen einzigen Fixpunkt.

Anwendungen

Dieser Satz wird in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt, die wichtigsten sind:

• das inverse- und implizite-Funktionen-Theorem
• der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf für gewöhnliche Differentialgleichungen

In der numerischen Mathematik spielt die Fixpunktiteration eine wichtige Rolle. Darüber hinaus spielt der Satz eine wichtige Rolle in der Konvergenztheorie des Newton-Verfahrens und anderer numerischer Verfahren, wie Splitting-Verfahren.

Literatur

• Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik, 5. Aufl., Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8