Fejér-Polynome

In der Mathematik ist für eine 2π-periodische, stetige Funktion f, das heißt $f \in \C_{2\pi}$, das n-te Fejer-Polynom σ_n(f) definiert durch

$\sigma_n(f)(x) := \sum_{k=-n}^{n} \left(1 - \frac{\left|k\right|}{n+1}\right) \hat f (k) e^{ikx},$

wobei

$\hat f(k) := \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ikt}{\rm d}t$

der k-te Fourier-Koeffizient ist. Mit Hilfe dieser trigonometrischen Polynome lieferte Fejér einen konstruktiven Beweis für den Satz von Weierstraß, der aussagt, dass jede 2π-periodische, stetige Funktion durch trigonometrische Polynome gleichmäßig approximiert werden kann. Diese Aussage wird auch als Satz von Fejér bezeichnet.

Konvergenzaussagen - Satz von Fejér

→ Hauptartikel: Satz von Fejér

Fejér führte den Beweis über das (erste) arithmetische Mittel der Partialsummen der Fourierreihe

$\sigma_n(f)(x) = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} S_k(f)(x),$

wobei

$S_k(f)(x) := \sum_{j=-k}^{k} \hat f (j) e^{ijx}$

die k-te Partialsumme ist, indem er zeigte:

Für jede 2π-periodische, stetige Funktion f konvergiert die Folge der Fejer-Polynome σ_n(f) gleichmäßig gegen f, d.h.

$f \in \C_{2\pi} \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} \| \sigma_n(f) - f \|_{\C_{2\pi}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\max\limits_{x\in [-\pi,\pi]} |\sigma_n(f)(x) - f(x)|\right) = 0.$

Fejér-Kern

Der n-te Fejer-Kern σ_n(x) ist definiert durch

$\sigma_n(x) := \sum_{k=-n}^{n} \left(1 - \frac{\left|k\right|}{n+1}\right) e^{ikx}$.

Faltung

Die Fejér-Polynome lassen sich als Faltung mit dem Fejér-Kern darstellen. Es gilt

$\sigma_n(f)(x) = (\sigma_n * f)(x) := \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sigma_n(x - t) {\rm d}t$

Arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns

Aus der Interpretation der Fejér-Polynome als (erstes) arithmetisches Mittel der Partialsummen folgt die Darstellung des Fejér-Kerns als arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns

$\sigma_n(x) = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n} D_k(x)$

wobei der Dirichlet-Kern definiert ist über

$D_n(x) := \sum_{k=-n}^{n} e^{ikx}$

Positiver reeller Kern

Neben der Summenschreibweise über komplexe Funktionen lässt sich der Fejér-Kern auch in einer geschlossenen Form darstellen. Hierzu wird verwendet, dass der Dirichlet-Kern die Darstellung

$D_k(x) = 1 +2\sum_{j=1}^k \cos(j x) = \frac{\sin\left(\frac{2k+1}{2}x\right)}{\sin(x/2)}$

besitzt. Mit Hilfe des obigen Zusammenhangs des Fejér-Kerns mit den Dirichlet-Kernen und der Regel

$\sum_{k=0}^n \sin\left(\frac{2k+1}{2}x\right) = \frac{\sin^2\left(\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin\left(x/2\right)}$

ergibt sich die folgende geschlossene Darstellung des Fejér-Kerns.

$\sigma_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{n+1} \left(\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}x\right)}{\sin(\frac{x}{2})}\right)^2 &,x \neq 2j\pi \\ n + 1 &,x = 2j\pi \end{cases}, j \in \Z$

Aufgrund der daraus ersichtlichen Positivität des Fejér-Kern kann für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz der Fejér-Polynome der Satz von Bohman-Korowkin angewendet werden, der besagt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz der Testfunktionen sin  und cos  die gleichmäßige Konvergenz für alle Funktionen $f \in \C_{2\pi}$ folgt.

Konvergenz in anderen Funktionenräumen

Auch für nichtstetige Funktionen anderer Funktionenräume, z.B. der Lebesgue-integrierbaren Funktionen, lassen sich Aussagen zur Approximierbarkeit angeben.

Quantitative Aussagen

Für Hölder-stetige Funktionen f lassen sich direkte Abschätzungen zum Konvergenzverhalten der Fejér-Polynome angeben.

Gehört f für ein $0 < \alpha \leq 1$ zur Klasse der Hölder-stetigen Funktionen C^α, d.h.

$\|f(\cdot + h) - f(\cdot)\|_{\C_{2\pi}} = \mathcal O(|h|^\alpha), h \to 0,$

so gelten die folgenden quantitativen Approximationsaussagen:

$\|\sigma_n(f) - f\|_{\C_{2\pi}} = \begin{cases} \mathcal O(|\frac{1}{n}|^\alpha) &,0 < \alpha < 1 \\ \mathcal O\left(\frac{\log(n)}{n}\right) &, \alpha = 1 \end{cases}, n \to \infty$

Literatur

• N. I. Achieser: Vorlesungen über Approximationstheorie. Akademie-Verlag, Berlin 1953.
• P. L. Butzer, R. J. Nessel: Fourier Analysis And Approximation, Vol. 1: One-Dimensional Theory. Birkhäuser, Basel 1971.
• Leopold Fejér: Über trigonometrische Polynome. In: J. Reine Angew. Math. Band 146, 1916, Seiten 53-82.
• Leopold Fejér: Gestaltliches über die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe. In: Z. Angew. Math. Mech. Band 13, 1933, Seiten 80-88.
• Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Cambridge University Press, Cambridge 1968, 2nd Edition.