Extremale Graphentheorie

Die extremale Graphentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie untersucht, welche Graphen einer gegebenen Klasse (wie die Klasse der Graphen ohne Hamiltonkreis) einen bestimmten Graphenparameter (wie die maximale Anzahl von Kanten) maximieren oder minimieren.

Ein Ergebnis der extremalen Graphentheorie ist beispielsweise, dass Graphen mit n Knoten, die keinen Kreis der Länge 3 enthalten, höchstens n² / 4 Kanten besitzen. Das ist ein Spezialfall des Satzes von Pál Turán (1941)^[1], der die extremale Graphentheorie begründete:

Satz von Turán: Ein Graph mit n Knoten ohne p-Clique (vollständiger Untergraph mit p Knoten), $p \geq 2$, hat maximal $(1- \frac {1}{p-1}) \frac {n^2}{2}$ Kanten.^[2]

Definiert man zu einem Graphen H die Zahl ex(n,H) als die maximale Kantenzahl, die ein Graph mit n Knoten und ohne einen zu H isomorphen Untergraphen haben kann, so lässt sich diese Aussage zu

$\mathrm{ex}(n,K_p) \le (1-\frac{1}{p-1})\frac{n^2}{2}$

umformulieren, wobei K_p der vollständige Graph mit p Knoten ist. Bezeichnet man mit C_p den Kreisgraphen mit p Knoten, so erhält man als weiteres Beispiel

K₅ erweitert um einen Knoten und eine Kante

$\mathrm{ex}(p,C_p) \,=\, 1 + \frac{(p-1)(p-2)}{2}$.

Der Graph, der aus K_{p − 1} durch Hinzunahme eines weiteren Knotens und einer Kante entsteht, hat keinen zu C_p isomorphen Untergraphen und $1 + \frac{(p-1)(p-2)}{2}$ Kanten (siehe nebenstehende Zeichnung für p = 6). Die Hinzunahme einer weiteren Kante führt offenbar zu einem zu C_p isomorphen Untergraphen.

Literatur

• Béla Bollobás: Extremal graph theory, Academic Press, London 1978., ISBN 0-12-111750-2
• Frank Harary: Graphentheorie, R. Oldenburg, München 1974, ISBN 3-486-34191-X

Siehe auch

• Ramsey-Theorie

Verweise

1. ↑ Turan On an extremal problem in graph theory, Math.Fiz.Lapok, Bd.48, 1941, S.436
2. ↑ In Aigner, Ziegler Proofs from the Book, Springer, Kapitel 32, werden fünf Beweise gegeben, unter anderem von Turan und Paul Erdös