Eulerwinkel

Eulersche Winkel oder auch Eulerwinkel sind eine Möglichkeit zur Beschreibung der Orientierung (Winkellage) von Objekten im dreidimensionalen Raum. Es handelt sich um drei Winkel, welche jeweils eine Drehung (Rotation) um bestimmte Achsen beschreiben und so eine Transformation zwischen zwei (kartesischen) Koordinatensystemen, dem Laborsystem und dem körperfesten System, definieren.

Definition

Eulersche Winkel in x-Konvention

Es existieren verschiedene Definitionen für die eulerschen Winkel, die sich in der Wahl der Drehachsen unterscheiden. Von insgesamt 12 gleichwertigen möglichen Beschreibungen haben sich die unten angegebenen etabliert. Die angegebenen zugehörigen Drehmatrizen transformieren die Koordinaten des Körpers, der rotiert wird.

„x-Konvention“ (Z,X’,Z’’)

Zuerst wird um einen Winkel Ψ um die z-Achse des globalen Koordinatensystems (Z) gedreht. Es folgt eine Rotation um den Winkel Θ um die neue x-Achse (X') und schließlich um den Winkel Φ um die nach den beiden vorherigen Drehungen erhaltene z-Achse Z''.

$M_{zxz} = \begin{pmatrix} \cos \Psi & - \sin \Psi & 0 \\ \sin \Psi & \cos \Psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \Theta & - \sin \Theta \\ 0 & \sin \Theta & \cos \Theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \Phi & - \sin \Phi & 0 \\ \sin \Phi & \cos \Phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \cos \Psi \cos \Phi - \sin \Psi \cos \Theta \sin \Phi & - \cos \Psi \sin \Phi - \sin \Psi \cos \Theta \cos \Phi & \sin \Psi \sin \Theta \\ \sin \Psi \cos \Phi + \cos \Psi \cos \Theta \sin \Phi & \cos \Psi \cos \Theta \cos \Phi - \sin \Psi \sin \Phi & - \cos \Psi \sin \Theta \\ \sin \Theta \sin \Phi & \sin \Theta \cos \Phi & \cos \Theta \end{pmatrix}$

„y-Konvention“ (Z,Y’,Z’’)

Zuerst wird um einen Winkel Ψ um die z-Achse des globalen Koordinatensystems (Z) gedreht. Es folgt eine Rotation um den Winkel Θ um die neue y-Achse (Y') und schließlich um den Winkel Φ um die nach den beiden vorherigen Drehungen erhaltene z-Achse Z''.

$M_{zyz} = \begin{pmatrix} \cos \Psi & - \sin \Psi & 0 \\ \sin \Psi & \cos \Psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \Theta & 0 & \sin \Theta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin \Theta & 0 & \cos \Theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \Phi & - \sin \Phi & 0 \\ \sin \Phi & \cos \Phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} - \sin \Psi \sin \Phi + \cos \Psi \cos \Theta \cos \Phi & - \sin \Psi \cos \Phi - \cos \Psi \cos \Theta \sin \Phi & \cos \Psi \sin \Theta \\ \cos \Psi \sin \Phi + \sin \Psi \cos \Theta \cos \Phi & \cos \Psi \cos \Phi - \sin \Psi \cos \Theta \sin \Phi & \sin \Psi \sin \Theta \\ - \sin \Theta \cos \Phi & \sin \Theta \sin \Phi & \cos \Theta \end{pmatrix}$

Da die resultierenden Matrizen Rotationsmatrizen sind, wird die Rücktransformation durch die Transponierte dargestellt. Z. B.:$M_{zyz}^{-1}=M_{zyz}^T$.

Luftfahrtnorm (DIN 9300) (Yaw-Pitch-Roll, Z,Y’,X’’)

In der Luftfahrtnorm ist die Transformation vom erdfesten (geodätischen, Labor-) System mit dem Index g in das flugzeugfeste (körperfeste) System mit dem Index f über die drei Lagewinkel Ψ, Θ und Φ definiert:

• Der Gierwinkel (Steuerkurs, Azimut, heading, azimuth angle) Ψ dreht in der x_g-y_g-Ebene um die z_g-Achse. Dabei wird die x_g-Achse in die Knotenachse k₁ und die y_g-Achse in die Knotenachse k₂ überführt. Hauptwertebereich: $- \pi < \Psi \le \pi$

• Der Nickwinkel (Längsneigung, pitch angle, inclination angle) Θ dreht in der x_f-z_g-Ebene um die k₂-Achse. Dabei wird die k₁-Achse in die x_f-Achse und die z_g-Achse in die Knotenachse k₃ überführt. Hauptwertebereich: $- \frac{\pi}{2} \le \Theta \le \frac{\pi}{2}$

• Der Rollwinkel (Querneigung, Hängewinkel, bank angle) Φ dreht in der y_f-z_f-Ebene um die x_f-Achse. Dabei wird die k₂-Achse in die y_f-Achse und die k₃-Achse in die z_f-Achse überführt. Hauptwertebereich: $- \pi < \Phi \le \pi$

Lagewinkel-Drehung vom erdfesten (Index g) ins flugzeugfeste (Index f) Koordinatensystem

Die Transformationsmatrix setzt sich dann aus den drei Einzeldrehmatrizen für die jeweiligen Winkel zusammen. Dabei ist die Drehreihenfolge von rechts nach links zu lesen; also in der Reihenfolge $\Psi \rightarrow \Theta \rightarrow \Phi$:

$M_{fg} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \Phi & \sin \Phi \\ 0 & - \sin \Phi & \cos \Phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \Theta & 0 & - \sin \Theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \Theta & 0 & \cos \Theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \Psi & \sin \Psi & 0 \\ - \sin \Psi & \cos \Psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \cos \Theta \cos \Psi & \cos \Theta \sin \Psi & - \sin \Theta \\ \sin \Phi \sin \Theta \cos \Psi - \cos \Phi \sin \Psi & \sin \Phi \sin \Theta \sin \Psi + \cos \Phi \cos \Psi & \sin \Phi \cos \Theta \\ \cos \Phi \sin \Theta \cos \Psi + \sin \Phi \sin \Psi & \cos \Phi \sin \Theta \sin \Psi - \sin \Phi \cos \Psi & \cos \Phi \cos \Theta \end{pmatrix}$

Neben der hier gezeigten (ZY'X'')-Konvention sind weitere Varianten im Gebrauch, sehr häufig Roll-Pitch-Yaw (XY'Z''). Dabei ist lediglich die Reihenfolge der Rotationsmatrizen bei der Multiplikation zu ändern, um die gesamte Transformationsmatrix zu erhalten, bei Roll-Pitch-Yaw also M_fg = R_z(Ψ)R_y(Θ)R_x(Φ)

Beispiel

Der Gewichtsvektor hat beispielsweise im erdfesten Koordinatensystem nur eine z-Komponente (in Richtung Erdmittelpunkt):

$G_g = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ mg \end{pmatrix}$

Die Transformation ins flugzeugfeste Koordinatensystem geschieht dann durch Linksmultiplikation des erdfesten Gewichtsvektors G_g mit der Transfomationsmatrix M_fg:

$G_f = M_{fg}G_g = \begin{pmatrix} \cos \Theta \cos \Psi & \cos \Theta \sin \Psi & - \sin \Theta \\ \sin \Phi \sin \Theta \cos \Psi - \cos \Phi \sin \Psi & \sin \Phi \sin \Theta \sin \Psi + \cos \Phi \cos \Psi & \sin \Phi \cos \Theta \\ \cos \Phi \sin \Theta \cos \Psi + \sin \Phi \sin \Psi & \cos \Phi \sin \Theta \sin \Psi - \sin \Phi \cos \Psi & \cos \Phi \cos \Theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ mg \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} ... & ... & - \sin \Theta \\ ... & ... & \sin \Phi \cos \Theta \\ ... & ... & \cos \Phi \cos \Theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ mg \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \sin \Theta \\ \sin \Phi \cos \Theta \\ \cos \Phi \cos \Theta \end{pmatrix} mg$

Physikalisch richtig wirkt das Gewicht also bei vorhandenem Nickwinkel Θ beispielsweise auch in die negative x_f-Richtung, also im Flugzeug nach hinten.

Herleitung im allgemeinen Fall

Für eine beliebige Wahl der Drehachsenreihenfolge kann die sich ergebende Drehmatrix durch die Zuhilfenahme des folgenden Zusammenhangs einfach hergeleitet werden:

Die Drehmatrizen um die globalen Achsen sind bekannt. Wenn nun um eine bereits verdrehte Achse erneut gedreht werden soll, dann entspricht das der Drehmatrix um die entsprechende globale Achse, allerdings in einer transformierten Vektorbasis. Die Transformationsmatrix (Basiswechselmatrix) ist dabei gerade die vorhergehende Drehung.

Seien A und B zwei Drehmatrizen um die beiden globalen Achsen G und H. Zur Berechnung der Drehmatrix zu der Reihenfolge $(G,H^\prime)$ beobachtet man, dass die Drehmatrix für die zweite Drehung um H der basistransformierten Matrix $\tilde B = A B A^{-1}$ entsprechen muss. Dadurch erhält man für die resultierende Gesamtdrehmatrix $C = \tilde B A = A B A^{-1} A = A B$. Für eine größere Anzahl von Drehungen erfolgt der Nachweis analog.

Durch diese Darstellung ergibt sich, dass sich die Drehmatrix für eine beliebige Drehreihenfolge in nacheinander verdrehten Achsen durch die einfache Multiplikation von Drehmatrizen um globale Koordinatenachsen ergibt – allerdings in umgekehrter Reihenfolge.

Ergebnis, Interpretation

Das erhaltene Koordinatensystem mit den Achsen X'', Y'' und Z'' ist das sogenannte körperfeste System. Die Winkel φ und θ geben dabei die Lage der Z''-Achse gegenüber dem körperfesten System an („Drehung“ und „Kippung“, der Winkel ψ beschreibt die Eigendrehung des Körpers um sie. Dem entsprechen folgende Namenskonventionen:

• Flugsteuerung (Rollwinkel, Nickwinkel, Gierwinkel)
• Kreiseltheorie: Präzession, Nutation und Spin oder Eigenrotation
• Azimut, Elevation und Rotation

Mathematische Eigenschaften

Die Abbildung, die den Euler-Winkeln die zugehörige Drehmatrix zuordnet, besitzt kritische Punkte; in diesen Punkten ist die Zuordnung nicht lokal umkehrbar, man spricht von Gimbal Lock. Im Fall der x- oder y-Konvention tritt dies auf, wenn der zweite Winkel gleich null ist, der Drehvektor der ersten Drehung ist dann gleich dem Drehvektor der zweiten Drehung. Das bedeutet, dass für eine Rotation um die z-Achse beliebig viele Eulerwinkel mit α = Z + Z' existieren.

Bei der Definition der Lagewinkel nach der Luftfahrtnorm liegen die kritischen Punkte bei $\textstyle\Theta = \pm \frac{\pi}{2}$.

Nachteile, Alternativen

Zur Darstellung von Drehungen haben Eulerwinkel mehrere Nachteile:

• Die oben erwähnte Singularität führt dazu, dass eine einzige Drehung durch unterschiedliche Eulerdrehungen ausgedrückt werden kann. Dies führt zu einem Phänomen, das als Gimbal Lock bekannt ist.
• Eine kleine Drehung (d. h. eine Drehung, bei der die Orientierung sich nur wenig ändert) lässt sich im allgemeinen nicht durch drei kleine Eulersche Winkel beschreiben.
• Die korrekte Kombination von Drehungen im Euler-System ist nicht intuitiv anzugeben, da sich die Drehachsen verändern.
• Eine glatte Interpolation zwischen Drehungen ist in einem koordinaten-unabhängigen Weg nur schwer anzugeben

Andere Möglichkeiten, die Orientierung zu beschreiben und teils diese Nachteile zu umgehen, sind Rotationsmatrizen oder Quaternionen.

Anwendungen

In der Theoretischen Physik werden die eulerschen Winkel zur Beschreibung des Starren Körpers benutzt. Eine praktische Anwendung ergibt die bekannte kardanische Aufhängung ^[1] der technischen Mechanik.

In der Kristallographie werden die eulerschen Winkel zur Beschreibung der Kreise des Röntgendiffraktometers und zur Beschreibung der Orientierungsdichteverteilungsfunktion von Texturen verwendet.

In der Astronomie sind die eulerschen Winkel unter anderen Bezeichnungen als Bahnelement eines Objekts geläufig.

In der Computergrafik werden die eulerschen Winkel zur Beschreibung der Orientierung eines Objektes verwendet.

In der Festkörper-NMR werden die eulerschen Winkel zu theoretischen Beschreibung und zur Simulation von Spektren benutzt.

Einzelnachweise

1. ↑ Der Zusammenhang zwischen den eulerschen Winkeln und der kardanischen Aufhängung ist u.a. in Kapitel 11.4 des folgenden Buches dargestellt: U. Krey, A. Owen: Basic Theoretical Physics - A Concise Overview. Springer-Verlag, Berlin 2007.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Euler Angles auf MathWorld (englisch)