Empirische Verteilungsfunktion

Empirische Verteilungsfunktion

Eine Empirische Verteilungsfunktion F(t) - auch Summenhäufigkeitsfunktion oder Verteilungsfunktion der Stichprobe genannt - ist definiert als die Summe der relativen Häufigkeiten derjenigen Stichprobenwerte/Merkmalsausprägungen, die kleiner oder gleich t sind.

Die Definition der Empirischen Verteilungsfunktion kann in verschiedenen Schreibweisen erfolgen. Dabei ist die eine Variante mehr an die Bedürfnisse der deskriptiven Statistik und die andere mehr an die der Wahrscheinlichkeitstheorie angepasst. Die Definition in der deskriptiven Variante stellt quasi eine praxistaugliche Version dar, während die wahrscheinlichkeitstheoretische Variante zusammen mit einem Satz von Glivenko-Cantelli eine mathematische Begründung dafür liefert, warum es überhaupt Sinn hat mit einer Empirischen Verteilungsfunktion zu arbeiten.

Inhaltsverzeichnis

Definition (deskriptive Variante)

Seien h_1, \ldots, h_k die relativen Häufigkeiten der reellen Merkmalsausprägungen x_1 < \ldots < x_k einer Stichprobe. Dann heißt die durch


F(t) := \begin{cases} 
0,    & \text{falls } t < x_1 \\ 
\sum_{j=1}^i h_j, & \text{falls } x_i \leq t < x_{i+1}, ~ i \in \{ 1, \ldots , k-1\} \\
1,    & \text{falls } x_k \leq t
\end{cases}
[1]

für alle t \in \mathbb{R} definierte Funktion F : \mathbb{R} \rightarrow [0,1] die Empirische Verteilungsfunktion (zur Stichprobe).

Die Funktion ordnet jeder Reellen Zahl t die Summe der Relativen Häufigkeiten hj derjenigen Zahlen aus der Stichprobe zu, die kleiner oder gleich groß wie t sind.

Definition (wahrscheinlichkeitstheoretische Variante)

Seien X_1, X_2, \dots reelle Zufallsvariablen, also messbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P) in den Messraum (\mathbb{R},\mathcal{B}). Dann heißt die Abbildung


F_n(t,\omega) := \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n 1_{(-\infty, t ]} \left( X_j(\omega) \right), \qquad t \in \mathbb{R}, ~ \omega \in \Omega,

die Empirische Verteilungsfunktion von X1,...,Xn.

Literatur

  • Bauer, Heinz: Wahrscheinlichkeitstheorie. Berlin - New York 2002
  • Mayer, Horst: Beschreibende Statistik. München - Wien 1995

Einzelnachweise

  1. Prof. Dr. N. Henze, Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka. Skript zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für Studierende der Informatik. Universität Karlsruhe, S. 11

Siehe auch


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