Elementfremd

In der Mengenlehre heißen zwei Mengen A und B disjunkt (lat: disiunctum: getrennt) oder elementfremd, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn je zwei von ihnen disjunkt sind.

Definitionen

Zwei Mengen A und B sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:

$A\cap B=\varnothing$

Eine Familie $(M_i)_{i\in I}$ von Mengen ist eine disjunkte Mengenfamilie, wenn ihre Elemente paarweise disjunkt sind, wenn also gilt:

$M_i \cap M_j = \varnothing$ für $\!\,i \ne j$

Die Vereinigung M einer disjunkten Mengenfamilie nennt man disjunkte Vereinigung und schreibt sie als

$M=\dot{\bigcup_{i \in I}}M_i$

Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine Partition von M vor.

Die Begriffe werden auch analog für Mengensysteme (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.

Beispiele

• Die Mengen A = {1,2,3} und B = {7,8,11} sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.

• Die Mengen A = {1,2,7} und B = {6,7,8,11} sind nicht disjunkt, da sie das Element 7 gemeinsam haben.

• Die drei Mengen A = {1,2,3}, B = {4,5} und C = {5,6,7} sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich $B \cap C$) nichtleer ist.

• Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellt:

  $\{0\}, \{1, -1\}, \{2, -2\}, \{3, -3\}, \{4, -4\}, \ldots$.

• Zwei verschiedene Geraden g und h in der euklidischen Ebene sind genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden g bildet eine Partition der Ebene.

Eigenschaften

• Die leere Menge $\varnothing$ ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.

• {a} und B sind genau dann disjunkt, wenn $a \notin B$.

• Die Mächtigkeit einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die Siebformel.

Siehe auch

• Disjunkte Vereinigung

• Lineare Disjunktheit, ein Begriff der abstrakten Algebra im Zusammenhang mit Körpererweiterungen, der mit der hier betrachteten Disjunktheit nur gemeinsam hat, dass die Schnittmenge linear disjunkter Körper kleinstmöglich ist.

Weblinks