Einschaliges Hyperboloid

einschaliges Hyperboloid

zweischaliges Hyperboloid

Doppelkegel

Ein Hyperboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung, die durch Ebenen in Hyperbeln, Ellipsen, Parabeln geschnitten werden kann.

Es wird zwischen ein- und zweischaligen Hyperboloiden unterschieden.

Das einschalige Hyperboloid gleicht einem Kühlturm, auf der Oberfläche liegen zwei Scharen von Geraden. Daher ist das einschalige Hyperboloid eine Regelfläche. Jede Tangentialebene T schneidet das Hyperboloid in zwei Geraden, deren Schnittpunkt der Berührpunkt von T ist.

Das zweischalige Hyperboloid besteht aus zwei nicht miteinander verbundenen Teilflächen, es enthält keine reellen Geraden.

Die Formel für ein Hyperboloid ist:

• einschalig: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
• zweischalig: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$

Der Grenzfall zwischen ein- und zweischaligen Hyperboloiden, wenn sich die beiden Schalen in einem Punkt berühren, ist der Doppelkegel:

• Doppelkegel: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$

Ein Hyperboloid mit a = b wird auch als Rotationshyperboloid bezeichnet.

Parametrisierung

Es gibt verschiedene Möglichkeiten ein Hyperboloid mit einer Funktion $f: \; \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3$ zu parametrisieren. Eine einfache Möglichkeit ist die Folgende, wobei d = 1 ein einschaliges, d = − 1 ein zweischaliges Hyperboloid und d = 0 einen Doppelkegel liefert:

$f: \; (s,t) \mapsto \left(a \cdot \sqrt{d+s^2} \cdot \cos(t) \,; \ b \cdot \sqrt{d+s^2} \cdot \sin(t) \,; \ c\cdot s \right)$

Die erste hyperboloide Struktur in der Welt hat Wladimir Schuchow 1896 gebaut.

Weblinks

• Animiertes Hyperboloid bei EXOPAS