Einbettung (Kategorientheorie)

Treue Funktoren und die hier ebenfalls zu besprechenden vollen und volltreuen Funktoren, die eng damit zusammenhängen, sind in der mathematischen Theorie der Kategorientheorie betrachtete Funktoren mit speziellen Eigenschaften.

Definitionen

Sei $T:{\mathcal C}\rightarrow {\mathcal D}$ ein Funktor zwischen zwei Kategorien ${\mathcal C}$ und ${\mathcal D}$. Ein solcher Funktor ordnet definitionsgemäß jedem Objekt $X\in\mbox{Ob}({\mathcal C})$ und jedem Morphismus $f:X\rightarrow Y$ aus $\mbox{Mor}_{\mathcal C}(X,Y)$, wobei X und Y Objekte aus ${\mathcal C}$ seien, ein Objekt $T(X) \in \mbox{Ob}({\mathcal D})$ beziehungsweise einen Morphismus $T(f) \in \mbox{Mor}_{\mathcal D}(T(X),T(Y))$ zu, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe Funktor).

Zu jedem Paar (X,Y) von Objekten aus ${\mathcal C}$ hat man eine Abbildung:

$T_{X,Y}: \mbox{Mor}_{\mathcal C}(X,Y) \, \rightarrow \, \mbox{Mor}_{\mathcal D}(T(X),T(Y)), \, f \mapsto T(f)$

Man nennt den Funktor T treu (bzw. voll, bzw. volltreu), wenn die Abbildungen T_X,Y für jedes Paar (X,Y) von Objekten aus ${\mathcal C}$ injektiv (bzw. surjektiv, bzw. bijektiv) sind. An Stelle von volltreu findet man auch die Bezeichnung völlig treu.

Einbettungen

Ist $T:{\mathcal C}\rightarrow {\mathcal D}$ ein Funktor, so beziehen sich die Begriffe treu, voll und volltreu nur auf Morphismenmengen zwischen je zwei Objekten, sie beziehen sich nicht auf die Klassen aller Objekte bzw. aller Morphismen, insbesondere sagt die Treue des Funktors T nicht aus, dass eine der Abbildungen

$T_{Ob}: \mbox{Ob}({\mathcal C}) \rightarrow \mbox{Ob}({\mathcal D}),\, X\mapsto T(X)$

$T_{Mor}: \mbox{Mor}({\mathcal C}) \rightarrow \mbox{Mor}({\mathcal D}),\, f\mapsto T(f)$

injektiv ist, was im Allgemeinen auch nicht der Fall ist. Um den Zusammenhang dieser Begriffe und die Verwendung obiger Definitionen zu beleuchten, wird hier die folgende einfache Aussage bewiesen:

• Wenn der Funktor T treu ist, so ist T_Ob genau dann injektiv, wenn T_Mor injektiv ist.

Ist T_Mor injektiv und sind $X,Y \in \mbox{Ob}({\mathcal C})$ mit T(X) = T(Y), so folgt T(id_X) = id_T(X) = id_T(Y) = T(id_Y), also nach Voraussetzung id_X = id_Y und damit X = Y. Daher ist T_Ob injektiv. (Für diese Richtung wird die Treue des Funktors nicht benötigt.)

Sei nun umgekehrt T_Ob injektiv, und seien $f,g \in \mbox{Mor}({\mathcal C})$ mit T(f) = T(g). Es gibt dann Objekte X₁,X₂,Y₁,Y₂ aus der Kategorie ${\mathcal C}$, so dass f und g Morphismen $f:X_1\rightarrow Y_1$ bzw. $g:X_2\rightarrow Y_2$ sind. Es ist f = g zu zeigen. Um die Treue des Funktors anwenden zu können, müssen wir X₁ = X₂ und Y₁ = Y₂ zeigen. Da T Funktor ist, erhält man Morphismen $T(f):T(X_1)\rightarrow T(Y_1)$ und $T(g):T(X_2)\rightarrow T(Y_2)$. Da T(f) = T(g), folgt T(X₁) = T(X₂) und T(Y₁) = T(Y₂). Weil T_Ob nach Voraussetzung injektiv ist, erhalten wir X₁ = X₂ und Y₁ = Y₂. Daher ist $T_{X_1,Y_1}(f) = Tf=Tg=T_{X_1,Y_1}(g)$ und die Treue von T liefert, wie gewünscht, f = g.

Man nennt einen Funktor T eine Einbettung, wenn T_Mor injektiv ist. Für einen treuen Funktor ist die Einbettungseigenschaft nach Obigem äquivalent zur Injektivität von T_Ob.

Ist der Funktor $T:{\mathcal C}\rightarrow {\mathcal D}$ eine Einbettung, so bilden die Objekte $T(X), X\in \mbox{Ob}({\mathcal C})$ mit den Morphismen $T(f), f\in \mbox{Mor}({\mathcal C})$, eine Unterkategorie von ${\mathcal D}$, die mit $T({\mathcal C})$ bezeichnet wird. Da das für beliebige Funktoren, die keine Einbettungen sind, im Allgemeinen nicht der Fall ist, spielen Einbettungen eine wichtige Rolle in der Kategorientheorie.

Volltreue Funktoren

Ist der Funktor $T:{\mathcal C}\rightarrow {\mathcal D}$ eine Einbettung, und ist T ein voller Funktor, so ist $T({\mathcal C})$ eine volle Unterkategorie von ${\mathcal D}$. Dies motiviert die Bezeichnung voller Funktor in obigen Definitionen. Ist also T ein volltreuer Funktor, so dass T_Ob injektiv ist, so definiert T eine Einbettung auf eine volle Unterkategorie.

Volltreue Funktoren sind auch wegen der folgenden Aussage wichtig für die Kategorientheorie:

• Seien $T:{\mathcal C}\rightarrow {\mathcal D}$ ein volltreuer Funktor und $f:X\rightarrow Y$ ein Morphismus der Kategorie ${\mathcal C}$. Dann gilt: f ist Isomorphismus $\Leftrightarrow$ Tf ist Isomorphismus.

Die Richtung von links nach rechts ist sehr einfach. Ist nämlich f Isomorphismus, so gibt es definitionsgemäß einen weiteren Morphismus $g:Y\rightarrow X$ mit fg = id_Y und gf = id_X. Da T Funktor ist, folgt $T(f)\circ T(g) = T(fg) = T(\mbox{id}_Y) = \mbox{id}_{T(Y)}$ und genauso $T(g)\circ T(f) = \mbox{id}_{T(X)}$, das heißt, T(f) ist ein Isomorphismus.

Die Volltreue wird für die Umkehrung benötigt. Ist nämlich $T(f):T(X)\rightarrow T(Y)$ ein Isomorphismus, so gibt es einen Morphismus $w: T(Y)\rightarrow T(X)$ mit $T(f)\circ w = \mbox{id}_{T(Y)}$ und $w\circ T(f) = \mbox{id}_{T(X)}$. Da T voll ist, gibt es einen Morphismus $g:Y\rightarrow X$ mit T(g) = w. Dann folgt $T(fg)=T(f)\circ T(g) = T(f) \circ w = \mbox{id}_{T(Y)} = T(\mbox{id}_Y)$ und genauso $T(gf)\,=\,T(\mbox{id}_X)$. Wegen der Treue von T folgt nun fg = id_Y und gf = id_X, das heißt, f ist ein Isomorphismus.

Literatur

• Horst Schubert: Kategorien I/II. Springer-Verlag, 1970.