Affine Geometrie

Die affine Geometrie ist eine Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie, in der zwar das euklidische Parallelenaxiom gilt, aber Abstand und Winkel keine Bedeutung haben.

Im Sinne des Erlanger Programms von Felix Klein wird die affine Geometrie als Inbegriff der unter bijektiven affinen Abbildungen invarianten geometrischen Eigenschaften eingeführt.

Definition

Von einer affinen Geometrie spricht man, wenn man eine Menge von Punkten $\mathfrak{P}$, eine Menge von Geraden $\mathfrak{G}$, eine Inzidenzrelation I zwischen $\mathfrak{P}$ und $\mathfrak{G}$ sowie eine Parallelitätsrelation $\|$ auf $\mathfrak{G}$ gegeben hat, und folgende Axiome erfüllt werden:

• Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade.
• Auf jeder Gerade liegen mindestens zwei Punkte.
• Die Parallelitätsrelation $\|$ ist eine Äquivalenzrelation
• Durch jeden Punkt geht genau eine Gerade, die zu einer gegebenen Gerade parallel ist.
• Wenn ein Dreieck ABC gegeben ist, und zwei Punkte A' und B' derart, dass die Gerade g_AB parallel zu der Geraden g_A'B' liegt, so gibt es einen Punkt C' so, dass auch g_AC parallel zu g_A'C' und g_BC parallel zu g_B'C' liegen.

Schreib- und Sprechweise

• Punkte werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet. $A,B,C,...\in\mathfrak{P}$
• Geraden werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. $a,b,c,...\in\mathfrak{G}$
• Gilt für $A\in\mathfrak{P}$ und $g\in\mathfrak{G}\ A\mathrm{I}g$ so sagt man, A inzidiert mit g, oder A liegt auf g oder g geht durch A.
• Gilt für $g,h\in\mathfrak{G}\ g\|h$ so sagt man, g und h sind parallel.
• Seien $A,B\in\mathfrak{P}$ zwei Punkte, so wird die nach dem ersten Axiom eindeutig definierten Gerade durch A und B mit g_AB bezeichnet.

Beispiele

• Durch Vektorräume erzeugte affine Räume:
  • Der euklidische Anschauungsraum kann mit einem dreidimensionalen Vektorraum über $\mathbb{R}$ erzeugt werden.
  • Die euklidische Ebene kann durch einen zweidimensionalen Vektorraum über $\mathbb{R}$ erzeugt werden.
  • Triviale Beispiele sind:
    • eine Gerade, auf der alle Punkte liegen,
    • ein einzelner Punkt und $\mathfrak{G}$ ist leer,
    • sowohl $\mathfrak{P}$ als auch $\mathfrak{G}$ sind leer
  • Die kleinste affine Ebene ist die Ebene, die durch den zweidimensionalen Vektorraum über den endlichen Körper $\mathbf{F}_2$ erzeugt werden kann. Sie besteht aus den Punkten $\mathfrak{P}=\{A,B,C,D\}$ und den Geraden $\mathfrak{G}=\{g_{AB},g_{AC},g_{AD},g_{BC},g_{BD},g_{CD}\}$. Ferner gilt $g_{AB}\|g_{CD}, g_{AC}\|g_{BD}, g_{AD}\|g_{BC}$

Alle durch Vektorräume erzeugte affine Geometrien erfüllen den großen affinen Satz von Desargues. Es gibt aber auch affine ("nichtdesarguessche") Geometrien, die diesen Satz nicht erfüllen. Sie können mithin nicht durch einen Vektorraum erzeugt werden. Ein Beispiel hierzu ist die Moulton-Ebene.

Unter der Ordnung einer endlichen affinen Ebene versteht man die Anzahl der Punkte auf einer und daher jeder Geraden. Alle bekannten endlichen affinen Ebenen haben als Ordnung Primzahlpotenzen und für jede Primzahlpotenz gibt es affine Ebenen dieser Ordnung. Welche Zahlen als Ordnungen affiner Ebenen vorkommen, ist ein ungelöstes Problem. Der Satz von Bruck und Ryser gibt eine teilweise Nichtexistenzaussage. Z. B. sind die Zahlen 6,14,21,22,30,33,38,42,... nicht Ordnungen affiner Ebenen. Die Ordnung 10 konnte durch massiven Computereinsatz ausgeschlossen werden. 12 ist die kleinste Zahl, für die die Existenzfrage ungelöst ist.

Ist jede affine Ebene von Primzahlordnung desarguessch? Das ist ein ungelöstes Problem.

Hat die affine Geometrie mehr als zwei Dimensionen, so wird der große affine Satz von Desargues immer erfüllt, trivialerweise auch, wenn die affine Geometrie weniger als zwei Dimensionen hat. Er ist mithin nur für affine Ebenen von Bedeutung.

Literatur

• Günter Ewald: Geometrie, Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 3-525-40536-7
• Günter Pickert: Projektive Ebenen.
• Daniel Hughes und Fred Piper: Projective planes.