Duale C*-Algebra

Duale C*-Algebra

Die dualen C*-Algebren, auch C*-Algebren kompakter Operatoren genannt, sind eine spezielle Unterklasse von in der Mathematik betrachteten C*-Algebren. Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ist M\subset A eine Teilmenge einer Algebra A, so heißt \mbox{lan}(M):= \{x\in A;\, xM=\{0\}\} der Links-Annullator von M. Entsprechend heißt \mbox{ran}(M):= \{x\in A;\, Mx=\{0\}\} der Rechts-Annullator von M. Ganz allgemein nennt man eine Banachalgebra dual, wenn folgende Dualitätsbeziehungen bestehen:

Bei C*-Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen, da sich Links- und Rechtideale via Involution eineindeutig entsprechen.

Charakterisierungen

Eine C*-Algebra heißt elementar, wenn es einen Hilbertraum H gibt, so dass sie isomorph zur Algebra K(H) der kompakten Operatoren auf H ist. Das eingeschränkte Produkt einer Familie (Ai)i von C*-Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der Ai, die aus allen Tupeln (xi)i besteht, für die \{i;\,\|x_i\|>\epsilon\} für jedes \epsilon > 0 endlich ist. Zusammen mit der Norm \|(x_i)_i\| := \sup_i\|x_i\| ist dies wieder einer C*-Algebra. Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun:

Für eine C*-Algebra A sind folgende Aussagen äquivalent:

  • A ist eine duale C*-Algebra.
  • Die Summe der minimalen Linksideale liegt dicht in A.
  • Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in A.
  • A ist isomorph zu einer Unter-C*-Algebra einer elementaren C*-Algebra.
  • A ist isomorph zu einem eingeschränkten Produkt einer Familie elementarer C*-Algebren.
  • Das Gelfand-Spektrum jeder maximalen kommutativen Unter-C*-Algebra ist diskret.
  • Für jedes x\in A ist der Operator der Linksmultiplikation L_x:\,A\rightarrow A,\, y\mapsto xy ein schwach-kompakter Operator.
  • Für jedes x\in A ist der Operator der Rechtsmultiplikation R_x:\,A\rightarrow A,\, y\mapsto yx ein schwach-kompakter Operator.

Dabei heißt ein Operator schwach-kompakt, wenn das Bild einer beschränkten Menge in der schwachen Topologie einen kompakten Abschluss hat.

Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C*-Algebren auch C*-Algebren kompakter Operatoren.

Beispiele

  • Die Matrizen-Algebren M_n(\C) ={\C}^{n\times n} sind elementar und daher dual, allgemeiner sind alle endlich-dimensionalen C*-Algebren dual.
  • Die Folgenalgebra c0 der komplexen Nullfolgen ist eingeschränktes Produkt von abzählbar vielen Kopien von \C \cong M_1(\C) und daher dual.
  • Ist H ein Hilbertraum und ist A eine Unter-C*-Algebra von K(H), so ist A dual. Nach obiger Charakterisierung erhält man so bis auf Isomorphie alle dualen C*-Algebren.
  • Die Funktionenalgebra C([0,1]) ist nicht dual, denn sie ist kommutativ und hat kein diskretes Gelfand-Spektrum. Aus demselben Grunde sind die Folgenalgebren c und \ell^\infty der konvergenten bzw. beschränkten Folgen nicht dual.

Eigenschaften

  • Aus obigen Charakterisierungen ergibt sich leicht, dass Unter-C*-Algebren von dualen C*-Algebren und eingeschränkte Produkte dualer C*-Algebren wieder dual sind.
  • Die Darstellungstheorie dualer C*-Algebren ist sehr einfach. Liegt die C*-Algebra als eingeschränktes Produkt elementarer C*-Algebren K(Hi) vor, so sind die irreduziblen Darstellungen bis auf Äquivalenz genau die Projektionen auf die Komponenten K(Hi).

Quellen

  • W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760
  • J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Duale Kategorie — Die Kategorientheorie oder die kategorielle Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der sich Anfang der 1940er Jahre zuerst im Rahmen der Topologie entwickelte; Saunders MacLane nennt seine 1945 gemeinsam mit Samuel Eilenberg entstandene „General… …   Deutsch Wikipedia

  • Duale Zahlen — Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie ist der Ring der dualen Zahlen über einem Körper ein algebraisches Objekt, das eng mit dem Begriff des Tangentialvektors zusammenhängt. Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer… …   Deutsch Wikipedia

  • Duale Basis — Die duale Basis ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Zu einer gegebenen Basis eines Vektorraums wird eine zugehörige Basis des Dualraums konstruiert. Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Berechnung 3 Tensor… …   Deutsch Wikipedia

  • Antiliminale C*-Algebra — Liminale C* Algebren sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C* Algebren. Diese C* Algebren werden von manchen Autoren auch CCR Algebren (CCR steht für completely continuous representations, d.h. kompakte Darstellungen) genannt, unter… …   Deutsch Wikipedia

  • C*-Algebra mit stetiger Spur — Liminale C* Algebren sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C* Algebren. Diese C* Algebren werden von manchen Autoren auch CCR Algebren (CCR steht für completely continuous representations, d.h. kompakte Darstellungen) genannt, unter… …   Deutsch Wikipedia

  • CCR-Algebra — Liminale C* Algebren sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C* Algebren. Diese C* Algebren werden von manchen Autoren auch CCR Algebren (CCR steht für completely continuous representations, d.h. kompakte Darstellungen) genannt, unter… …   Deutsch Wikipedia

  • Boole'sche Algebra — In der Mathematik ist eine boolesche Algebra (oder ein boolescher Verband) eine spezielle algebraische Struktur, die die Eigenschaften der logischen Operatoren UND, ODER, NICHT sowie die Eigenschaften der mengentheoretischen Verknüpfungen… …   Deutsch Wikipedia

  • Boolesche Algebra — In der Mathematik ist eine boolesche Algebra (oder ein boolescher Verband) eine spezielle algebraische Struktur, die die Eigenschaften der logischen Operatoren UND, ODER, NICHT sowie die Eigenschaften der mengentheoretischen Verknüpfungen… …   Deutsch Wikipedia

  • C*-Algebra — C* Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Abstraktion der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum, sie spielen daher in der mathematischen Beschreibung der… …   Deutsch Wikipedia

  • Graßmann-Algebra — Die Graßmann Algebra oder äußere Algebra eines Vektorraums V ist eine assoziative, schiefsymmetrisch graduierte Algebra mit Einselement. Sie ist – je nach Definition – Unteralgebra oder eine Faktoralgebra einer antisymmetrisierten Tensoralgebra… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”