Drehimpulsoperator

Drehimpulsoperator

Der Drehimpulsoperator ist ein Begriff der Quantenmechanik. Es handelt sich um einen hermiteschen Vektoroperator \hat{\mathbf{J}}=(\hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z), dessen Komponenten der folgenden Kommutatorrelation genügen (εabc ist der Epsilon-Tensor):

[\hat{J}_a,\hat{J}_b]=i\hbar \sum_c \varepsilon_{abc}\hat{J}_c

Der Drehimpulsoperator spielt eine zentrale Rolle bei Atomen und anderen quantenmechanischen Problemen mit Rotationssymmetrie. Der Bahndrehimpulsoperator \hat{\mathbf{L}} ist das quantenmechanische Analogon zum klassischen Drehimpuls. Außerdem gibt es den Spinoperator \hat{\mathbf{S}}, der ebenfalls ein Drehimpulsoperator ist, aber kein klassisches Analogon besitzt.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

In der Folge wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet, das heißt, über doppelt auftretende Indizes wird summiert.

Aus der Kommutatorrelation [\hat{J}_a,\hat{J}_b]=i\hbar\varepsilon_{abc}\hat{J}_c folgt automatisch:

[\hat{J}_a,\hat{\mathbf{J}}^2]=0

Da die Komponenten des Drehimpulsoperators per Definition nicht vertauschen, geht man häufig zu den gemeinsamen Eigenvektoren von \hat{\mathbf{J}}^2 und einer beliebigen Drehimpulskomponente (üblicherweise \hat{J}_z) über. | jm \rangle bezeichnen die Eigenvektoren der gemeinsamen Basis von \hat{\mathbf{J}}^2 und \hat{J}_z und es gelten folgende Eigenwertgleichungen:

\hat{\mathbf{J}}^2 | jm \rangle = \hbar^2 j (j+1)| jm \rangle
\hat{J}_z | jm \rangle = \hbar m | jm \rangle

Die Quantenzahl j kann die Werte j=\frac{n}{2},\ n\in \mathbb N_0 und die Quantenzahl m die Werte m=-j,-j+1,\,...\,,j annehmen. Somit ist j gleich (2j + 1)-fach entartet.

Die Indizes j und m entsprechen beim Bahndrehimpuls \hat{\mathbf{L}} der Nebenquantenzahl l (l ganzzahlig) bzw. der magnetischen Quantenzahl m des Bahndrehimpulses und analog beim Spin \hat{\mathbf{S}} den beiden Spinquantenzahlen s (s halbzahlig) und ms.

Man definiert Leiteroperatoren mit denen das m-Spektrum zu gegebenen j durchlaufen werden kann:

  • Aufsteigeoperator: \hat{J}_{+}=\hat{J}_{x}+i\hat{J}_{y}
\hat{J}_{+}|j,m\rangle=\hbar\sqrt{(j-m)(j+m+1)}|j,m+1\rangle
  • Absteigeoperator: \hat{J}_{-}=\hat{J}_{x}-i\hat{J}_{y}
\hat{J}_{-}|j,m\rangle=\hbar\sqrt{(j+m)(j-m+1)}|j,m-1\rangle

Details zu den Quantenzahlen j und m

Aus \hat{\mathbf{J}}^2 | j,m \rangle = \hbar^2 j (j+1)| j,m \rangle und \hat{J}_z | j,m \rangle = \hbar m | j,m \rangle werden mittels Leiteroperatoren die möglichen Eigenwerte j und m ermittelt. Zuerst werden verschiedene Kommutatoren mit Leiteroperatoren \hat{J}_{\pm}=\hat{J}_{x}\pm i\hat{J}_{y} bestimmt, die sich auf [\hat{J}_a,\hat{J}_b]=i\hbar\varepsilon_{abc}\hat{J}_c zurückführen lassen:

[\hat{J}_{+},\hat{J}_{-}]=2\hbar\hat{J}_{z}\ ,\quad [\hat{\mathbf{J}}^{2},\hat{J}_{\pm}]=0 \ ,\quad [\hat{J}_{z},\hat{J}_{\pm}]=\pm\hbar\hat{J}_{\pm}

Nun soll die Wirkung der Leiteroperatoren auf den Zustand | j,m \rangle untersucht werden:

\hat{\mathbf{J}}^{2}\hat{J}_{\pm}|j,m\rangle=\hat{J}_{\pm}\hat{\mathbf{J}}^{2}|j,m\rangle=\hbar^{2}j(j+1)\hat{J}_{\pm}|j,m\rangle \quad\Rightarrow\quad\hat{J}_{\pm}|j,m\rangle=c_{\pm}|j,m'\rangle
\hat{J}_{z}\hat{J}_{\pm}|j,m\rangle=\left(\hat{J}_{\pm}\hat{J}_{z}+[\hat{J}_{z},\hat{J}_{\pm}]\right)|j,m\rangle=\left(\hbar m\hat{J}_{\pm}\pm\hbar\hat{J}_{\pm}\right)|j,m\rangle=\hbar(m\pm1)\hat{J}_{\pm}|j,m\rangle\quad\Rightarrow\quad\hat{J}_{\pm}|j,m\rangle=c_{\pm}|j,m\pm1\rangle

Bei Anwendung eines Leiteroperators verändert sich j nicht, aber m wird um 1 erhöht oder erniedrigt (deshalb sind die Bezeichnungen Auf- und Absteigeoperator gerechtfertigt). Im nächsten Schritt wird die Konstante c_\pm bestimmt. Dazu werden zunächst Produkte aus Leiteroperatoren auf \hat{\mathbf{J}}^{2} und \hat{J}_{z} zurückgeführt:

\hat{\mathbf{J}}^{2}=\hat{J}_{x}^{2}+\hat{J}_{y}^{2}+\hat{J}_{z}^{2}=\left[\tfrac{1}{2}(\hat{J}_{+}+\hat{J}_{-})\right]^{2}+\left[\tfrac{1}{2i}(\hat{J}_{+}-\hat{J}_{-})\right]^{2}+\hat{J}_{z}^{2}=\tfrac{1}{2}\left(\hat{J}_{+}\hat{J}_{-}+\hat{J}_{-}\hat{J}_{+}\right)+\hat{J}_{z}^{2}

Anwenden von [\hat{J}_{+},\hat{J}_{-}]=2\hbar\hat{J}_{z} führt auf:

\hat{J}_{+}\hat{J}_{-}=\hat{\mathbf{J}}^{2}-\hat{J}_{z}^{2}+\hbar\hat{J}_{z}\ ,\quad\hat{J}_{-}\hat{J}_{+}=\hat{\mathbf{J}}^{2}-\hat{J}_{z}^{2}-\hbar\hat{J}_{z}

Da alle Eigenzustände normiert sein sollen, ist c_\pm die Länge des Vektors \hat{J}_{\pm}|j,m\rangle und lässt sich über das Normquadrat bestimmen; dabei wird ausgenutzt, dass Auf- und Absteigeoperator adjungiert zueinander sind \hat{J}_{+}^{\dagger}=\hat{J}_{-} :

|c_{\pm}|^{2}=\|c_{\pm}|j,m\pm1\rangle\|^{2}=\|\hat{J}_{\pm}|j,m\rangle\|^{2}=\langle j,m|\hat{J}_{\pm}^{\dagger}\hat{J}_{\pm}|j,m\rangle=\langle j,m|\hat{J}_{\mp}\hat{J}_{\pm}|j,m\rangle=\langle j,m|\hat{\mathbf{J}}^{2}-\hat{J}_{z}^{2}\mp\hbar\hat{J}_{z}|j,m\rangle=\hbar^{2}j(j+1)-\hbar^{2}m^{2}\mp\hbar^{2}m
|c_{\pm}|^{2}=\hbar^{2}(j\mp m)(j\pm m+1)\quad\Rightarrow\quad c_{\pm}=\hbar\sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}

Da die Norm eines Vektors nicht-negativ ist, muss (j\mp m)(j\pm m+1)\geq 0 gelten. Daraus folgt:

-j\leq m\leq j

Wendet man den Aufsteigeoperator auf den höchsten Zustand m = j an, wird c + = 0; wendet man den Absteigeoperator auf m = − j an wird c = 0. In beiden Fällen bricht die Leiter ab und man erhält den Nullvektor:

\hat{J}_{+}|j,j\rangle =0\quad ,\quad \hat{J}_{-}|j,-j\rangle =0

Durch n-faches Anwenden (n\in\mathbb{N}_{0}) des Aufsteigeoperators auf den Zustand mit m = − j gelangt man zu m = j:

-j+n=j\quad\Rightarrow\quad j=\frac{n}{2}\quad\text{mit}\quad n\in\mathbb{N}_{0}

Deshalb müssen die möglichen Quantenzahlen j nichtnegativ ganzzahlig oder halbzahlig sein.

Bahndrehimpulsoperator

Eine spezielle Realisierung eines Drehimpulses stellt der Bahndrehimpulsoperator \hat{\mathbf{L}}=(\hat{L}_x,\hat{L}_y,\hat{L}_z) dar. Dieser ist wie folgt definiert:

\hat{\mathbf{L}}= \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}= \mathbf{e}_i\varepsilon_{ijk}\hat{r}_j \hat{p}_k

Dabei ist \hat{\mathbf{r}} der Ortsoperator, \hat{\mathbf{p}} der Impulsoperator und \mathbf{e}_i der i-te Einheitsvektor. Die Eigenvektoren lassen sich in Ortsdarstellung mit den Kugelflächenfunktionen Y_{jm} (\varphi, \vartheta) = \langle \varphi, \vartheta | jm \rangle identifizieren (siehe unten). Die Eigenwerte l sind ganzzahlig: l=0,1,2,\ldots

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in kartesischen Koordinaten

Für den Impulsoperator und Ortsoperator gelten in Ortsdarstellung  \hat{\mathbf{p}}= {\hbar \over i} \nabla bzw. \hat{\mathbf{r}}= \mathbf{r} . Dies in \hat{\mathbf{L}}= \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}} eingesetzt, ergibt mit \nabla =\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right):

 \hat{L}_x = {\hbar \over i} \left(y {\partial \over \partial z} - z {\partial \over \partial y} \right)
 \hat{L}_y = {\hbar \over i} \left(z {\partial \over \partial x} - x {\partial \over \partial z} \right)
 \hat{L}_z = {\hbar \over i} \left(x {\partial \over \partial y} - y {\partial \over \partial x} \right)

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in sphärischen Koordinaten

Mit dem Nabla-Operator bzw. dem Gradienten in Kugelkoordinaten erhält man nach Ausführen der Kreuzprodukte zunächst


  \hat{\mathbf{L}} = \frac{\hbar}{i} \left(  
  \mathbf{e}_\varphi \frac{\partial}{\partial\theta} -
  \frac{\mathbf{e}_\theta}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi} \right)

Die kartesischen Komponenten von \hat{\mathbf{L}} lassen sich nun an den kartesischen Komponenten der Einheitsvektoren \mathbf{e}_\varphi und \mathbf{e}_\theta\!\, ablesen:

\hat{L}_{x}=i\hbar\left(\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)
\hat{L}_{y}=i\hbar\left(-\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)
\hat{L}_{z}= \frac{\hbar}{i}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}

An der letzten Zeile erkennt man, dass die z-Komponente des Drehimpulses die Erzeugende einer Drehung (mit Winkel φ) um die z-Achse ist.

\hat{L}_{\pm}=\hat{L}_{x}\pm i\hat{L}_{y}=\hbar\exp(\pm i\varphi)\left(\pm\frac{\partial}{\partial\theta}+i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)
\hat{\mathbf{L}}^{2}=-\hbar^{2}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\right)=-\hbar^{2}\Delta_{\theta,\varphi}

Der Operator \hat{L}^{2} entspricht in Ortsdarstellung gerade dem Winkelanteil Δθ,φ des Laplace-Operators (bis auf die Konstante -\hbar^{2}). Die Eigenfunktionen des Winkelanteils und somit von \hat{\mathbf{L}}^{2} und \hat{L}_{z} sind die Kugelflächenfunktionen Yl,m(θ,φ):

\hat{\mathbf{L}}^{2}Y_{l,m}(\theta,\varphi)=\hbar^{2}l(l+1)Y_{l,m}(\theta,\varphi)
\hat{L}_{z}Y_{l,m}(\theta,\varphi)=\hbar m Y_{l,m}(\theta,\varphi)

Die Quantenzahlen l und m sind auf ganzzahlige Werte beschränkt:

l=0,1,2,...\,\quad m=-l,...,l

Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges Orthonormalensystem von quadratintegrablen Funktionen auf der Einheitskugel:

\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{2\pi}d\varphi\,\sin\theta\, Y_{l,m}^{*}(\theta,\varphi)\, Y_{k,n}(\theta,\varphi)=\delta_{l,k}\delta_{m,n}

Erzeugende einer Drehung

Der Operator \hat{R}_{z}(\varphi) drehe die Ortskoordinaten um den Winkel φ um die z-Achse:

\hat{R}_{z}(\varphi)\,\,\psi(x,\, y,\, z)=\psi(x\cos\varphi-y\sin\varphi,\, x\sin\varphi+y\cos\varphi,\, z)

Für infinitesimal kleine Drehwinkel δφ können die Winkelfunktionen bis zur ersten Ordnung in δφ um δφ = 0 entwickelt werden (siehe auch: Infinitesimale Drehungen) und ebenso die Wellenfunktion:

\begin{align}
\hat{R}_{z}(\delta\varphi)\,\,\psi(x,\, y,\, z) & =\psi(x-y\delta\varphi,\, y+x\delta\varphi,\, z)\\
 & =\psi(x,\, y,\, z)-y\delta\varphi\frac{\partial\psi(x,\, y,\, z)}{\partial x}+x\delta\varphi\frac{\partial\psi(x,\, y,\, z)}{\partial y}\\
 & =\left[1+\delta\varphi\left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)\right]\psi(x,\, y,\, z)\\
 & =\left[1+\delta\varphi\frac{i}{\hbar}\hat{L}_{z}\right]\psi(x,\, y,\, z)\end{align}

Im letzten Schritt wurde die Definition der z-Komponente des Drehimpulsoperators verwendet. Da \hat{L}_{z} hermitesch ist, ist der infinitesimale Drehoperator \hat{R}_{z}(\varphi) unitär.

In Kugelkoordinaten lautet eine infinitesimale Drehung um die z-Achse analog zu oben:

\begin{align}
\hat{R}_{z}(\delta\varphi)\psi(r,\,\vartheta,\,\varphi) & =\psi(r,\,\vartheta,\,\varphi+\delta\varphi)=\psi(r,\,\vartheta,\,\varphi)+\delta\varphi\frac{\partial\psi(r,\,\vartheta,\,\varphi)}{\partial\varphi}\\
 & =\left[1+\delta\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}\right]\psi(r,\,\vartheta,\,\varphi)=\left[1+\delta\varphi\frac{i}{\hbar}\hat{L}_{z}\right]\psi(r,\,\vartheta,\,\varphi)\end{align}

Um aus einer solchen infinitesimalen Drehung eine endliche Drehung zu erzeugen, betrachte folgenden Grenzübergang:

\hat{R}_{z}(\varphi)=\lim_{N\to\infty}\left[R_{z}\!\left(\frac{\varphi}{N}\right)\right]^{N}=\lim_{N\to\infty}\left[1+\frac{\varphi}{N}\frac{i}{\hbar}\hat{L}_{z}\right]^{N}=\exp\left(\!\varphi\frac{i}{\hbar}\hat{L}_{z}\right)

Da sich der Drehoperator \hat{R}_{z}(\varphi) aus unitären Operatoren \hat{R}_{z}(\delta\varphi)=\hat{R}_{z}(\varphi/N) zusammensetzt, ist er selbst unitär.

Eine Drehung um eine beliebige Achse \mathbf{e} (mit \mathbf{e}\cdot\mathbf{e}=1) um den Winkel φ kann man allgemein schreiben als:

\hat{R}_{\mathbf{e}}(\varphi)=\lim_{N\to\infty}\left[1+\frac{\varphi}{N}\frac{i}{\hbar}\mathbf{e}\cdot\hat{\mathbf{L}}\right]^{N}=\exp\left(\!\varphi\frac{i}{\hbar}\mathbf{e}\cdot\hat{\mathbf{L}}\right)

Spinoperator

Der Spin ist ein weiterer Freiheitsgrad eines quantenmechanischen Teilchens. Zu diesem gibt es kein klassisches Analogon (somit auch keine Ortsdarstellung), man kann ihn aber als Eigendrehimpuls auffassen. Der Spinoperator \hat{\mathbf{S}}=(\hat{S}_x,\hat{S}_y,\hat{S}_z) kommutiert mit allen anderen Freiheitsgraden des Teilchens (z.B. Impulsoperator, Bahndrehimpulsoperator). Die Quantenzahlen s und ms sind halbzahlig und beschränken sich im einfachsten und häufigsten Fall auf die Werte:

s=\frac{1}{2}\ ,\quad m_s=\pm\frac{1}{2}

Spin 1/2-Teilchen sind alle Quarks und Leptonen, sowie zusammengesetzte Teilchen wie Proton und Neutron. Es gibt allerdings auch Teilchen mit anderem Spin, z. B. das baryonische Delta mit s=3/2.

Meist bezeichnet man die beiden Eigenzustände mit "Spin up" und "Spin down".

\left|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\rangle=\left|+\right\rangle =\left|\uparrow\right\rangle\ ,\quad \left|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle=\left|-\right\rangle =\left|\downarrow\right\rangle

Diese Zustände erfüllen die Eigenwertgleichungen

\hat{S}^{2}\left|\pm\right\rangle =\frac{3\hbar^{2}}{4}\left|\pm\right\rangle
\hat{S}_{z}\left|\pm\right\rangle =\pm\frac{\hbar}{2}\left|\pm\right\rangle

Die Leiteroperatoren haben auf die Eigenzustände die Wirkung:

\hat{S}_{+}\left|-\right\rangle =\hbar\left|+\right\rangle\ ,\quad \hat{S}_{+}\left|+\right\rangle =0
\hat{S}_{-}\left|+\right\rangle =\hbar\left|-\right\rangle\ ,\quad \hat{S}_{-}\left|-\right\rangle =0

Die Spinkomponenten \hat{S}_{x}, \hat{S}_{y} lassen sich über die Leiteroperatoren ausdrücken:

\hat{S}_{x}=\frac{1}{2}\left(\hat{S}_{+}+\hat{S}_{-}\right)\ ,\quad \hat{S}_{y}=\frac{1}{2i}\left(\hat{S}_{+}-\hat{S}_{-}\right)

Oft wird die Matrixdarstellung der Operatoren benutzt, wobei den Eigenzuständen folgende Spaltenvektoren (Spinoren) zugeordnet werden:

\left|+\right\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\ ,\quad \left|-\right\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
\hat{S}^{2}=\frac{3\hbar^{2}}{4}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\ ,\quad\hat{S}_{z}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}
\hat{S}_{+}=\hbar\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\ ,\quad\hat{S}_{-}=\hbar\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}
\hat{S}_{x}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\ ,\quad\hat{S}_{y}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0 & -i\\i & 0\end{pmatrix}

Schließlich werden über die Beziehung

\hat{S}_{i}=\frac{\hbar}{2}\hat{\sigma}_{i}

die Spinkomponenten mit den Pauli-Matrizen \hat{\sigma}_{i} verknüpft.

Addition von Drehimpulsen

Man geht von zwei Drehimpulsoperatoren \hat{\mathbf{J}}_1 und \hat{\mathbf{J}}_2 aus, die jeweils die Quantenzahlen j1 und m1 bzw. j2 und m2 besitzen. Jeder dieser Drehimpulse hat seinen eigenen Eigenraum, der durch die Eigenvektoren \left| j_1, m_1 \right\rangle zu \hat{\mathbf{J}}^{2}_{1},\hat{J}_{1z} bzw. \left| j_2, m_2 \right\rangle zu \hat{\mathbf{J}}^{2}_{2},\hat{J}_{2z} aufgespannt wird. Die Drehimpulse vertauschen untereinander [\hat{\mathbf{J}}_1,\hat{\mathbf{J}}_2] = 0.

Nun koppeln die einzelnen Drehimpulse zu einem Gesamtdrehimpuls:

\hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{J}}_{1} + \hat{\mathbf{J}}_{2}

Somit gilt automatisch \hat{J}_{z} = \hat{J}_{1z} + \hat{J}_{2z}. Da der Gesamtdrehimpuls aus beiden Einzel-Drehimpulsen besteht, kann er im Produktraum der einzelnen Eigenzustände (tensorielles Produkt) dargestellt werden.

 \left| j_1, m_1 \right\rangle \otimes  \left| j_2, m_2 \right\rangle = \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle

Allerdings sind dies keine Eigenvektoren des Gesamtdrehimpulses \hat{\mathbf{J}}^{2}, so dass er in dieser Basis keine Diagonalgestalt besitzt. Daher geht man über vom vollständigen Satz kommutierender Operatoren \hat{\mathbf{J}}^{2}_{1},\hat{J}_{1z},\hat{\mathbf{J}}^{2}_{2},\hat{J}_{2z} mit den Eigenzuständen \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle zum vollständigen Satz kommutierender Operatoren \hat{\mathbf{J}}^{2},\hat{J}_{z},\hat{\mathbf{J}}^{2}_{1},\hat{\mathbf{J}}^{2}_{2} mit den Eigenzuständen \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle. In der neuen Basis hat der Gesamtdrehimpuls wieder eine einfache Diagonalgestalt:

 \hat{\mathbf{J}}^2 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = \hbar^2 J(J+1) \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle
 \hat{J}_{z} \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = \hbar M \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle

Die Quantenzahlen zum Gesamtdrehimpuls J und M können folgende Werte annehmen:

 J=| j_1 - j_2 |,\ | j_1 - j_2 |+1,\ ...\, ,\ j_1 + j_2
M = m_{1}+m_{2}=-J,\ ...\, , J .

Den Übergang von der Produktbasis  \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle in die Eigenbasis  \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle geschieht über folgende Entwicklung (Ausnutzen der Vollständigkeit der Produktbasis):

 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = \sum_{m_1, m_2} \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle \langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle

Dabei sind  \langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Spin-Bahn-Kopplung

Es wird ein 1/2-Spin mit einem Bahndrehimpuls gekoppelt.

\hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{L}} + \hat{\mathbf{S}}

Die Spinquantenzahlen sind auf s = 1 / 2 und m_{s}=\pm 1/2 beschränkt, die Bahndrehimpulsquantenzahlen sind l\in \mathbb{N}_{0} und ml = − l,...,l. Somit kann die Gesamtdrehimpulsquantenzahl J nur die folgenden Werte annehmen:

  • J=l\pm 1/2 für l > 0
  • J = 1 / 2 für l = 0

Jeder Zustand der Gesamtdrehimpulsbasis \left| J, M, l, s \right\rangle setzt sich aus genau zwei Produktbasiszuständen zusammen. Zu gegebenen M=m_l+m_s=m_l\pm \tfrac{1}{2} kann nur m_l=M \mp \tfrac{1}{2} sein.

\left|l+\tfrac{1}{2},M,l,\tfrac{1}{2}\right\rangle =\alpha_{+}\left|l,M-\tfrac{1}{2};\,\tfrac{1}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle +\beta_{+}\left|l,M+\tfrac{1}{2};\,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle   für   J=l+\tfrac{1}{2}
\left|l-\tfrac{1}{2},M,l,\tfrac{1}{2}\right\rangle =\alpha_{-}\left|l,M-\tfrac{1}{2};\,\tfrac{1}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle +\beta_{-}\left|l,M+\tfrac{1}{2};\,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle   für   J=l-\tfrac{1}{2}

Aus der Forderung der Orthonormiertheit der Zustände sind die Koeffizienten festgelegt:

\alpha_{\pm}=\pm\frac{\sqrt{l+\tfrac{1}{2}\pm M}}{\sqrt{2l+1}}   für   \beta_{\pm}=\frac{\sqrt{l+\tfrac{1}{2}\mp M}}{\sqrt{2l+1}}

Als Beispiel soll der Bahndrehimpuls mit l = 1 mit einem Spin s = 1 / 2 gekoppelt werden. Im folgenden schreibe abkürzend \left| J, M, l=1, s=\tfrac{1}{2} \right\rangle=\left| J, M \right\rangle und für die Produktbasis \left| l=1, m_{l};s=\tfrac{1}{2}, m_{s}=\pm \tfrac{1}{2} \right\rangle = \left| m_{l} ; \pm \right\rangle.

Für J=\tfrac{3}{2} gibt es ein Quartett:

\left|\tfrac{3}{2},+\tfrac{3}{2}\right\rangle =\left|1;+\right\rangle
\left|\tfrac{3}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle =\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,\left|0;+\right\rangle \,+\,\sqrt{\tfrac{1}{3}}\,\left|1;-\right\rangle
\left|\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle =\sqrt{\tfrac{1}{3}}\,\left|-1;+\right\rangle \,+\,\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,\left|0;-\right\rangle
\left|\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2}\right\rangle =\left|-1;-\right\rangle

Für J=\tfrac{1}{2} gibt es ein Dublett:

\left|\tfrac{1}{2},+\tfrac{1}{2}\right\rangle =-\sqrt{\tfrac{1}{3}}\,\left|0;+\right\rangle \,+\,\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,\left|1;-\right\rangle
\left|\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right\rangle =-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,\left|-1;+\right\rangle \,+\,\sqrt{\tfrac{1}{3}}\,\left|0;-\right\rangle

Spin-Spin-Kopplung

Im folgenden werden zwei 1/2-Spins gekoppelt.

\hat{\mathbf{S}} = \hat{\mathbf{S}}_{1} + \hat{\mathbf{S}}_{2}

Die Spinquantenzahlen sind auf s1,2 = 1 / 2 und m_{s\,1,2}=\pm 1/2 beschränkt. Somit können die Gesamtspinquantenzahlen S und MS nur die folgenden Werte annehmen:

  • S = 0 dann MS = 0
  • S = 1 dann MS = − 1,0,1

Im folgenden schreibe abkürzend \left| S, M_{S}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right\rangle=\left| S, M_{S} \right\rangle und für die Produktbasis \left| \tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{1}{2} \right\rangle = \left| \pm ; \pm \right\rangle

Für S = 1 gibt es ein Triplett:

\left| 1, 1 \right\rangle = \left| +; + \right\rangle
\left| 1, 0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \Big( \left| +; - \right\rangle + \left| -; + \right\rangle \Big)
\left| 1, -1 \right\rangle = \left| -; - \right\rangle

Für S = 0 gibt es ein Singulett:


   | 0, 0 \rangle = \frac1{\sqrt2} \Big( |+;-\rangle - |-;+\rangle\Big)

Literatur

  • Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2. Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen. Springer Verlag, ISBN 3540260358

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