Diskriminante (Modulform)

Diskriminante (Modulform)

Die Diskriminante Δ ist eine auf der oberen Halbebene \mathbb H=\{z\in\mathbb C\mid\mathrm{Im}\,z>0\} holomorphe Funktion.

Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Für z \in \mathbb{H} sei \Delta(z):= g_2^3(z)-27g_3^2(z),

dabei sind g2(z) = 60G4(z) und g3(z) = 140G6(z) die Eisensteinreihen zum Gitter \Z z+\Z.

Produktentwicklung

Die Diskriminante Δ lässt sich in ein unendliches Produkt entwickeln, es gilt:

\Delta(z)= (2\pi )^{12}e^{2\pi iz}\prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{2\pi inz})^{24}

Aus der Produktdarstellung folgt unmittelbar, dass Δ in \mathbb{H} keine Nullstellen hat.

Die Diskriminante Δ ist eng verwandt mit der Dedekindschen η-Funktion, es ist Δ(z) = (2π)12η24(z).

Transformationsverhalten

Die Diskriminante Δ ist eine ganze Modulform vom Gewicht 12, d.h. unter den Substitutionen von

\Gamma :=SL_2(\Z)=\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\mid a,b,c,d\in\Z, ad-bc=1\} gilt:

\Delta\left(\frac{az +b}{cz +d}\right)= (cz +d)^{12}\Delta(z).

Die Diskriminante Δ hat eine Nullstelle bei z=\infty und ist damit das einfachste Beispiel für eine sogenannte Spitzenform (engl. cusp form).

Fourierentwicklung

Die Diskriminante Δ lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

\Delta(z)=(2\pi )^{12}\sum_{n=1}^{\infty} \tau(n)\,{\mathrm e}^{2\pi inz}.

Die Fourierkoeffizienten sind alle ganze Zahlen und werden als Ramanujansche tau-Funktion

bezeichnet. Diese ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d.h.

\tau(m)\cdot\tau(n) = \tau(m\cdot n) für teilerfremde m,n \in 

\N,

wie im Jahre 1920 von Louis Mordell bewiesen wurde. Genauer gilt die Formel

\tau(m) \tau(n) = \sum_{d\,|(m,n)} \!\! d^{11}\tau\left(\frac{mn}{d^2}\right).

Für die ersten Werte der tau-Funktion gilt:

τ(1) = 1
τ(2) = − 24
τ(3) = 252.

Bis heute ist keine „einfache“ arithmetische Definition der tau-Funktion bekannt. Ebenso ist bis heute unbekannt, ob die von D. H. Lehmer aufgestellte Vermutung

\tau(m) \neq 0 für alle m \in \N richtig ist.

Ramanujan vermutete, dass für Primzahlen p gilt:

|\tau(p)| \le 2p^{11/2}.

Diese Vermutung wurde im Jahre 1974 von Deligne bewiesen.

Die τ(n) erfüllen die bereits von Ramanujan entdeckte Kongruenz

\tau(n)\equiv \sigma_{11}(n)\mod 691

mit

\sigma_{11}(n)=\sum_{d\,\mid n}d^{11}

Literatur


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Diskriminante (Begriffsklärung) — Diskriminante steht für die Diskriminante in der Algebra zur Lösbarkeit algebraischer Ausdrücke die Diskriminante (Modulform), eine Funktion in der Zahlentheorie die Diskriminante (algebraische Zahlentheorie), ein Hauptideal in einem… …   Deutsch Wikipedia

  • Modulform — Der klassische Begriff einer Modulform ist der Oberbegriff für eine breite Klasse von Funktionen auf der oberen Halbebene (Elliptische Modulformen) und deren höherdimensionalen Verallgemeinerungen (z. B. Siegelsche Modulformen), der in den… …   Deutsch Wikipedia

  • Modulfunktion — Der klassische Begriff einer Modulform ist der Oberbegriff für eine breite Klasse von Funktionen auf der oberen Halbebene (Elliptische Modulformen) und deren höherdimensionalen Verallgemeinerungen (z. B. Siegelsche Modulformen), der in den… …   Deutsch Wikipedia

  • Spitzenform — Der klassische Begriff einer Modulform ist der Oberbegriff für eine breite Klasse von Funktionen auf der oberen Halbebene (Elliptische Modulformen) und deren höherdimensionalen Verallgemeinerungen (z. B. Siegelsche Modulformen), der in den… …   Deutsch Wikipedia

  • J-Funktion — in der komplexen Ebene (ohne Faktor 12^3) Die j Funktion oder absolute Invariante spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen. Inhaltsverzeichnis 1 Definition …   Deutsch Wikipedia

  • Dedekindsche Eta-Funktion — Die Dedekindsche η Funktion in der komplexen Ebene Die nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind benannte η Funktion ist eine auf der oberen Halbebene holomorphe Funktion. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie d …   Deutsch Wikipedia

  • Ramanujan — S. Ramanujan S. Ramanujan [ˈɾɑːmɑːnudʒən] (Srinivasa Ramanujan Aiyangar; FRS); (Tamilisch: ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்); (* 22. Dezember 1887 in Erode, Tamil Nadu; † 26. April 1920 in …   Deutsch Wikipedia

  • S. A. Ramanujan — S. Ramanujan S. Ramanujan [ˈɾɑːmɑːnudʒən] (Srinivasa Ramanujan Aiyangar; FRS); (Tamilisch: ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்); (* 22. Dezember 1887 in Erode, Tamil Nadu; † 26. April 1920 in …   Deutsch Wikipedia

  • Srinivasa Aiyangar Ramanujan — S. Ramanujan S. Ramanujan [ˈɾɑːmɑːnudʒən] (Srinivasa Ramanujan Aiyangar; FRS); (Tamilisch: ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்); (* 22. Dezember 1887 in Erode, Tamil Nadu; † 26. April 1920 in …   Deutsch Wikipedia

  • Srinivasa Ramanujan — S. Ramanujan S. Ramanujan [ˈɾɑːmɑːnudʒən] (Srinivasa Ramanujan Aiyangar; FRS); (Tamilisch: ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்); (* 22. Dezember 1887 in Erode, Tamil Nadu; † 26. April 1920 in …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”