Diracmaß

Diracmaß

Das Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein Mengenmaß der Maßtheorie.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Es liege ein messbarer Raum (\Omega,\mathfrak{U}) vor. Zu jedem Punkt z\in\Omega wird sein Diracmaß (auch Punktmaß) δz definiert, indem man festlegt, dass jede messbare Menge A\subseteq \Omega (also A\in\mathfrak{U}) das Maß 1 hat, wenn sie den Punkt z enthält, und das Maß 0, wenn sie ihn nicht enthält:

 \delta_z(A) :=
\begin{cases} 
1\ , & \text{falls } z \in A\ , \\ 
0\ , & \mathrm{sonst}\ . 
\end{cases}

Es entsteht durch diese Definition der Maßraum (\Omega,\mathfrak{U},\delta_z), welcher auch ein Wahrscheinlichkeitsraum ist, da die Gesamtmasse δz(Ω) = 1 ist. Beim Diracmaß δz ist die Einheitsmasse im Punkt z konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion χ, kann man diesen Sachverhalt auch durch

\,\delta_z(A) = \chi_A(z)

für alle z\in\Omega und A\in\mathfrak{U} ausdrücken.

Integral

Sei wieder (\Omega,\mathfrak{U}) ein Maßraum und (\mathbb{R},\mathcal{B}) der Raum der reellen Zahlen ausgestattet mit der Borelschen σ-Algebra. Ferner sei die messbare Abbildung f:\Omega\to \mathbb{R} gegeben.

Für alle z\in\Omega und A\in\mathfrak{U} gilt

\begin{align}
  \int\limits_A f\,\mathrm d\delta_z
&=  \int\limits_{A\cap f^{-1}(\{f(z)\})} f\,\mathrm d\delta_z
+  \int\limits_{A\setminus f^{-1}(\{f(z)\})} f\,\mathrm d\delta_z
\\&=  \int\limits_{\{x\in A \mid f(x) = f(z)\}} f\,\mathrm d\delta_z
+  \int\limits_{\{x\in A \mid f(x) \ne f(z)\}} f\,\mathrm d\delta_z
\\                            &= f(z)\chi_A(z) + 0
\\                            &= f(z)\chi_A(z)
\\                              &= \begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not\in A\end{cases}\end{align}

Als einelementige Teilmenge von \mathbb{R} ist \{f(z)\}\in\mathcal{B}. Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist f^{-1}(\{f(z)\})\in\mathfrak{U} und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls \{z\}\in\mathfrak{U}, so ist auch eine Integration über A\cap\{z\} und A\setminus\{z\} möglich.

Siehe auch

Literatur


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