Darstellbarkeit (Kategorientheorie)

Darstellbarkeit (Kategorientheorie)

Darstellbarkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt den Umstand, dass es für gewisse Konstruktionen "klassifizierende Objekte" gibt.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ein kontravarianter Funktor F\colon C \to\mathbf{Set} von einer Kategorie C in die Kategorie der Mengen heißt darstellbar, wenn es ein Paar (X,u) bestehend aus einem Objekt von C und einem Element u\in F(X) gibt, so dass

\mathrm{Hom}_C(T,X)\to F(T),\quad f\mapsto F(f)(u)

für alle Objekte T von C bijektiv ist. Man schreibt dann auch einfach

F(T) = HomC(T,X).

Ein kovarianter Funktor G\colon C\to\mathbf{Set} heißt darstellbar, wenn es ein analoges Paar (X,u) gibt, so dass

\mathrm{Hom}_C(X,T)\to G(T),\quad f\mapsto G(f)(u)

bijektiv ist.

Weitere Bezeichnungen:

  • Für ein Element von F(T) heißt der entsprechende Morphismus T\to X auch klassifizierender Morphismus.
  • X heißt darstellendes Objekt, auch wenn durch X selbst die natürliche Äquivalenz
F\cong\mathrm{Hom}_C({-},X) bzw. G\cong\mathrm{Hom}_C(X,{-})
noch nicht festgelegt ist.
  • u wird oft universell genannt, weil jedes Element von F(T) für irgendein Objekt T Bild von u unter F(f) mit einem geeigneten Morphismus
f\colon T\to X
ist. (Analoges gilt im Fall kovarianter Funktoren.)

Eigenschaften

  • Wird ein kontravarianter Funktor F wie oben einerseits durch (X1,u1), andererseits aber auch durch X2,u2 dargestellt, so gibt es genau einen Isomorphismus i\colon X_1\to X_2, für den F(i)(u2) = u1 gilt. Er ist der klassifizierende Morphismus von u_1\in F(X_1) bezüglich (X2,u2).
  • Darstellbare Funktoren sind linksexakt, d.h.
F(\mathrm{colim}\, X_i) \,=\, \lim F(X_i) bzw. G(\lim X_i) \,=\, \lim G(X_i).

Beispiele

  • Die Bildung der Potenzmenge \mathcal P(T) einer Menge T kann als kontravarianter Funktor {\mathcal P}\colon \mathbf{Set}\to\mathbf{Set} betrachtet werden: für eine Abbildung f\colon T\to S von Mengen sei die induzierte Abbildung \mathcal P(f): \mathcal P(S)\to\mathcal P(T) das Urbild von Teilmengen:  {\mathcal P}(f)(U) = f^{-1}(U).
Dieser Funktor wird durch das Paar ({0,1},{1}) dargestellt, denn ist T ein Objekt, das heißt eine Menge, so ist \mathrm{Hom}(T,\{0,1\})\rightarrow {\mathcal P}(T),\, f\mapsto {\mathcal P}(f)(\{1\})=f^{-1}(\{1\}) bijektiv. Die klassifizierende Abbildung einer Teilmenge U\subseteq T ist also die charakteristische Funktion χU von U, denn \chi_U^{-1}(\{1\}) = U.
  • Die folgenden Vergissfunktoren sind darstellbar:
von nach dargestellt durch
Abelsche Gruppen Mengen (\mathbb Z,1)
Vektorräume über einem Körper K Mengen (K,1)
unitäre Ringe Mengen (\mathbb Z[T],T)
Topologische Räume Mengen ( * , * ) (ein einpunktiger Raum)
π1(X,x0) = [(S1, * ),(X,x0)].
H^1(S^1,\mathbb Z)\cong\mathbb Z
dargestellt wird. Allgemein gibt es darstellende Räume K(π,n) für die Funktoren Hn( − ,π) für beliebige abelsche Gruppen π und natürliche Zahlen n. Sie heißen Eilenberg-MacLane-Räume.

Siehe auch

Oben vorgestellte Abbildungen der Form \mathrm{Hom}_C(T,X)\to F(T), f\mapsto F(f)(u) kommen auch beim Yoneda-Lemma vor.


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