Danielewski-Fläche

Danielewski-Fläche

In der Mathematik stellt eine Danielewski-Fläche eine Verallgemeinerung des Raumes \C^2 dar und hat aus Sicht der Komplexen Analysis ähnliche Eigenschaften wie \C^2.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine Danielewski-Fläche ist eine algebraische Fläche, welche algebraisch isomorph ist zu einer Hyperfläche S \subset \C^3, die als Nullstellenmenge eines Polynoms x^n \cdot y - p(z) \in \C[x,y,z] definiert ist, wobei p \in \C[z] ein Polynom in einer Variablen ist.

Elementare Eigenschaften

  • Im Spezialfall n = 1, \; p(z) = z ist S = \left\{(x,y,z) \in \C^3 : x \cdot y = z \right\} isomorph zu \C^2.
  • Genau dann, wenn das Polynom p nur einfache Nullstellen hat, ist S nicht nur eine algebraische Fläche, sondern auch eine Komplexe Mannigfaltigkeit, da sie keine Singularitäten aufweist.
  • Sei p(z) = (z-a_1)\cdot(z-a_2)\cdots(z-a_m) mit paarweise verschiedenen ai,aj. Dann gilt:
S = \left\{ (x,p(z)/x^n,z) \in \C^3, x \neq 0 \right\} \dot{\cup} \left\{ x = 0, z = a_1 \right\} \dot{\cup} \dots \dot{\cup} \left\{ x = 0, z = a_m \right\}
d.h. S besteht im Prinzip aus \C^* \times \C und m Kopien von \C, die daran angeklebt sind.

Automorphismengruppe

Die Gruppe der holomorphen Automorphismen einer Danielewski-Fläche, welche keine Singularitäten aufweist, verhält sich ähnlich wie im bekannten Spezialfall \C^2, das bedeutet, sie ist "groß" in dem Sinne, dass sich die die Gruppe erzeugenden Elemente nicht explizit angeben lassen. Wie im Fall von \C^2 lässt sich aber eine dichte Teilmenge der Automorphismengruppe mit Hilfe von verallgemeinerten Scherungen konkret beschreiben.

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