D'Alembertsches Reduktionsverfahren

D'Alembertsches Reduktionsverfahren

Das Reduktionsverfahren von d’Alembert ist ein Verfahren aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen. Es wird verwendet, um eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten unter Kenntnis einer (ggf. geratenen) Lösung des homogenen Problems auf eine lineare Differentialgleichung (n − 1)-ter Ordnung zurückzuführen.

Grob gesagt, gilt Folgendes: Um eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung \mathcal{L}(y) = f zu lösen, beschaffe man sich (auf irgendeine Weise, beispielsweise durch Raten) eine nichttriviale Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung \mathcal{L}(u) = 0. Dann führt der Ansatz \ y(x) := c(x)u(x) für die ursprüngliche Gleichung \mathcal{L}(y)=f auf eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung \tilde{\mathcal{L}}(c') = f der niedrigeren Ordnung n − 1 für \ c'(x).

Formulierung des Satzes

Man betrachte den Differentialoperator n-ter Ordnung

\mathcal{L}(v)(x) := \sum_{k=0}^na_k(x)v^{(k)}(x)\ .

Hierzu sei eine Lösung u der homogenen linearen Differentialgleichung

\mathcal{L}(u) =  0\ .

bekannt. Für

\ y(x) := c(x)u(x)

gilt dann

\mathcal{L}(y)(x) = \sum_{j=0}^{n-1}\left[\sum_{k=j+1}^n{k \choose {j+1}}a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]c^{(j+1)}(x)\ .

Mit anderen Worten: \ y löst die inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung \mathcal{L}(y) = f genau dann, wenn

\ z(x) := c'(x)

die inhomogene lineare Differentialgleichung (n − 1)-ter Ordnung

\sum_{j=0}^{n-1}\left[\sum_{k=j+1}^n{k \choose {j+1}}a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]z^{(j)}(x) = f(x)

löst.

Beweis

Nach der leibnizschen Regel gilt

(c\cdot u)^{(k)}(x) = \sum_{j=0}^k{k \choose j}c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x)\ ,

also

\sum_{k=0}^na_k(x)(c\cdot u)^{(k)}(x) = \sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^k{k \choose j}a_k(x)c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x) = \sum_{j=0}^n\sum_{k=j}^n{k \choose j}a_k(x)u^{(k-j)}(x)c^{(j)}(x)\ .

Nun ist nach Voraussetzung \sum_{k=0}^n{k \choose 0}a_k(x)u^{(k)}(x) = \mathcal{L}(u) = 0. Somit folgt

\mathcal{L}(y) = \sum_{k=0}^na_k(x)(c\cdot u)^{(k)}(x) = \sum_{j=1}^n\left[\sum_{k=j}^n{k \choose j}a_k(x)u^{(k-j)}(x)\right]c^{(j)}(x)\ .

Indexverschiebung liefert \mathcal{L}(y) = \sum_{j=0}^{n-1}\left[\sum_{k=j+1}^n{k \choose {j+1}}a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]c^{(j+1)}(x).

\Box

Spezialfall: Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

Sei u Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

\ u''(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = 0\ .

Dann ist

\ y(x) := c(x)u(x)

Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung

\ y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f

genau dann, wenn

\ z(x) := c'(x)

der Gleichung

\ u(x)z'(x) + [p(x)u(x) + 2u'(x)]z(x) = f(x)

genügt. Diese Gleichung lässt sich mit Hilfe der Variation der Konstanten vollständig lösen.


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