Condorcet-Paradox

Das Condorcet-Paradoxon (auch „Problem der zyklischen Mehrheiten“, „Arrow's Paradox“ oder „paradox of voting“ genannt) ist ein nach Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet benanntes Paradoxon bei Wahlverfahren, das sich vor allem bei paarweisen Abstimmungen und Wahlen (Condorcet-Methode) auswirkt. Das sogenannte Paradoxe ist das Folgende: das Abstimmungsergebnis bzw. die kollektive Präferenz/Entscheidung ist zyklisch, d. h. nicht transitiv, obwohl die individuellen Präferenzen transitiv sind.

Es ist möglich, dass eine Mehrheit die Option A gegenüber einer Option B bevorzugt, zugleich eine Mehrheit die Option B gegenüber einer Option C bevorzugt und dennoch eine Mehrheit die Option C gegenüber der Option A bevorzugt.

Das Paradoxon ist auch bekannt als Zirkelpräferenz oder „Ching-Chang-Chong-Prinzip“.

Erläuterung

Wir nehmen an, es gebe drei Personen x, y und z. x hat dabei am liebsten Option A, am zweit liebsten Option B und am wenigsten gern Option C. y hat am liebsten Option B, dann Option C und zuletzt A. Person z schließlich hat die Wunschliste C, A, B.

In Tabellenform:

	x	y	z
Erstwunsch	A	B	C
Zweitwunsch	B	C	A
Drittwunsch	C	A	B

Zwei von drei (x und z) bevorzugen die Option A vor der Option B. Zwei von drei (x und y) bevorzugen auch die Option B vor der Option C. Aber es gibt ebenfalls zwei (y und z), die die Option C der Option A vorziehen. Um eine gemeinsame Rangliste gemäß der Condorcet-Methode aufzustellen, müsste man also sowohl A vor B und B vor C als auch C vor A anordnen, denn im direkten Vergleich hat A vor B, B vor C und C vor A die Mehrheit. Eine solche gemeinsame ist aber nicht möglich.

Dies gilt natürlich auch, wenn x, y und z nicht nur jeweils eine Person, sondern (annähernd) gleich große Gruppen darstellen. Genauer gesagt, muss jede Gruppe lediglich kleiner sein als die beiden anderen zusammen.

Das Ergebnis ist folglich vom Abstimmungsleiter und dessen Wahl der Reihenfolge der Wahlvorgänge abhängig: Es sei die obige Situation gegeben, und sie sei dem Abstimmungsleiter bekannt. Dann kann er, wenn er selbst Alternative A bevorzugt, zunächst zwischen B und C abstimmen lassen: hier gewinnt B. Damit erklärt er C für ausgeschieden und lässt zwischen A und B abstimmen, wo nun A gewinnt. Es sieht nun so aus, als ob eine überwältigende Mehrheit hinter A stünde, schließlich hat dieses klar über B und B klar über C gesiegt. Eine Abstimmung zwischen A und C, die gezeigt hätte, dass die Präferenz keineswegs klar ist, hat nicht stattgefunden. Da (vor allem über Anträge) sehr oft in der beschriebenen Weise abgestimmt wird, wirkt sich das Problem durchaus praktisch aus. Es ist nicht beweisbar, aber wahrscheinlich, dass selbst in den höchsten Gremien Beschlüsse anders gelautet hätten, wenn nach anderer Reihenfolge abgestimmt worden wäre.

Bedeutung

Die Sozialwahltheorie untersucht das Condorcet-Paradoxon und andere Aggregationsprobleme bei Abstimmungen und Wahlen. Das Condorcet-Paradoxon ist ein einfaches Beispiel dafür, dass sich aus mehreren individuellen transitiven Präferenzlisten ohne willkürliche Bevorzugung nicht immer kollektive transitive Präferenzlisten erstellen lassen. Insbesondere ist es ein Spezialfall des Unmöglichkeitssatzes von Arrow, der die prinzipielle Unmöglichkeit einer stets vorhandenen „demokratischen“ kollektiven Präferenzliste beweist. Dies wirft einige Fragen in der Demokratietheorie auf; insbesondere zeigt es nach Ansicht einiger, dass eine Demokratisierung von wirtschaftlichen oder politischen Entscheidungen nicht immer zu optimalen Ergebnissen führt. Doch wie häufig tauchen zirkuläre Präferenzen auf?

Ersetzen wir die abstrakten Variablen in der Tabelle durch konkrete Optionen in einer Sachentscheidung: Ein Gremium mit 3 Mitgliedern (Xaver, Yoshi, Zelda) berät über die Geschwindigkeitsbegrenzung auf einer Straße.

A = niedrigere Geschwindigkeit
B = die gegenwärtige Geschwindigkeit
C = höhere Geschwindigkeit

Lesen wir die Tabelle: Xaver will am ehesten die niedrigere Geschwindigkeit und am wenigsten die höhere. Yoshi möchte am ehesten den gegenwärtigen Kompromiss. Zelda mag am ehesten die höchste Geschwindigkeit, am zweit liebsten hat sie die niedrigste Geschwindigkeit. Die Präferenzen eines Gremium-Mitglieds sind merkwürdig. Liegt das an der Zuweisung der Variablen A, B, C? - Nein. Bei jeder anderen Zuweisung kommt es vor, dass ein Mitglied die gegensätzlichen Extreme gegenüber dem Kompromiss bevorzugt. Dieses unrealistische Muster belegt, dass zirkuläre Mehrheiten bei eindimensionalen Entscheidungen praktisch nicht auftauchen. Bei vielschichtigen Themen und Kandidaten mit verschiedener Selbstdarstellung für verschiedene Zielgruppen kommt das schon eher vor (ist aber dort noch lange nicht die Regel). Es ist ebenfalls möglich, dass bei Condorcet-Wahlen eine bestimmte Wählergruppe versucht, durch unehrliche Angaben ein Condorcet-Paradoxon zu ihren Gunsten zu verursachen.

Entdeckung

Vermutlich als erster beschrieb Condorcet dieses Paradox in seinem Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix (Paris 1785). Es geriet praktisch in Vergessenheit, bis Charles Lutwidge Dodgson und Edward John Nanson es in den 1870ern unabhängig voneinander wiederentdeckten. Danach geriet es erneut in Vergessenheit, bis Duncan Black und Kenneth Arrow es in den 1940ern bei ihren Untersuchungen unabhängig voneinander wiederentdeckten.

Literatur

• William V. Gehrlein: Condorcet's Paradox. Series: Theory and Decision Library C , Vol. 40, Springer, Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-33798-0, doi:/10.1007/3-540-33799-7

Weblinks

• http://www.wahlrecht.de/lexikon/arrow.html