Clausius-Mossotti-Gleichung

Die Clausius-Mossotti-Gleichung verknüpft die makroskopisch messbare Größe Permittivitätszahl $\varepsilon_r$ mit der mikroskopischen (molekularen) Größe elektrische Polarisierbarkeit α. Sie ist benannt nach den beiden Physikern Rudolf Clausius und Ottaviano Fabrizio Mossotti und lautet:

$P_m = \frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r+2} \frac{M_m}{\rho} = \frac{N_A}{3 \varepsilon_0} \alpha$

Die Gleichung gilt für unpolare Stoffe ohne permanentes Dipolmoment, d. h. es gibt nur induzierte Dipole (Verschiebungspolarisation). Für Stoffe mit permanenten Dipolen wird die Debye-Gleichung verwendet, die neben der Verschiebungspolarisation auch die Orientierungspolarisation berücksichtigt.

P_m ist die molare Polarisation (ihre Einheit ist die eines molaren Volumens, also z. B. m³/mol), M_m ist die molare Masse (kg/mol), ρ ist die Dichte (kg/m³) und N_A ist die Avogadrokonstante.

Herleitung

Die makroskopische Polarisation $\vec P$ ist die Summe aller induzierten Dipole $\vec{p}_{\text{ind}}$ geteilt durch das betrachtete Volumen (die Polarisation entspricht einer Dipoldichte):

$\vec{P}=N\vec{p}_{\text{ind}}=N\alpha \vec{E}_{\text{lokal}}$

wobei N die Teilchenzahldichte, α Polarisierbarkeit, $\vec{E}_{\text{lokal}}$ lokale elektrische Feldstärke am Ort des Atoms/Moleküls.

Die makroskopisch messbaren Größen elektrische Suszeptibilität χ bzw. die Dielektrizitätskonstante $\varepsilon_r$ stellen den Zusammenhang zwischen der Polarisation und dem E-Feld her:

$\vec{P}=\chi \varepsilon _{0}\vec{E}=\left( \varepsilon_r -1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E}$

Man erhält durch Gleichsetzen folgende Gleichung:

$\left( \varepsilon_r -1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E}=N\alpha \vec{E}_{\text{lokal}}$

Um weiterführende Aussagen machen zu können, muss das lokale Feld bestimmt werden.

Nebenbemerkung: Für verdünnte Gase beeinflussen sich die induzierten Dipole nicht, das lokale Feld ist gleich dem angelegten äußeren Feld  $\vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E}$  und daraus:

$\left( \varepsilon_r -1 \right)=\frac{N}{\varepsilon _{0}}\alpha$

Für ein Dielektrikum höherer Dichte ist das lokale Feld ungleich dem angelegten äußeren Feld, da in der Nähe befindliche induzierte Dipole auch ein elektrisches Feld aufbauen.

$\vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E}+\vec{E}_{\text{L}}$

$\vec{E}$: von außen angelegtes elektrisches Feld + auf Dielektrikum-Oberfläche erzeugtes Polarisationsfeld (Entelektrisierungsfeld),

$\vec{E}_{\text{L}}=\vec{P}/(3\varepsilon_0)$: Feld der Polarisationsladungen auf der Oberfläche einer fiktiven Kugel um das betrachtete Molekül (Lorentzfeld)

Dies ergibt ein lokales E-Feld von:

$\vec{E}_{\text{lokal}}=\vec{E}+\frac{1}{3\varepsilon _{0}}\vec{P}=\vec{E}+\frac{\left( \varepsilon_r -1 \right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}\vec{E}= \frac{\varepsilon_r +2}{3} \vec{E}$

Eingesetzt in obige Gleichung:

$\left( \varepsilon_r -1 \right)\varepsilon _{0}\vec{E}=N\alpha \frac{\varepsilon_r +2}{3} \vec{E}$

Umstellen liefert:

$\frac{\varepsilon_r -1}{\varepsilon_r +2}=\frac{N\alpha }{3\varepsilon _{0}}$

Bzw. nach $\varepsilon_r$ aufgelöst:

$\varepsilon _{r}=1+\chi _{e}=1+\frac{3N\alpha }{3\varepsilon _{0}-N\alpha }$

Nun kann man noch die Teilchendichte N durch makroskopisch messbare Größen ausdrücken (Dichte ρ, molare Masse M_m und Avogadrokonstante N_A):

$N=\frac{N_{A}\rho }{M_{m}}$

Einsetzen liefert die Clausius-Mossotti-Gleichung:

$\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r+2} \frac{M_m}{\rho} = \frac{N_A}{3 \varepsilon_0} \alpha$

Bzw. nach $\varepsilon_r$ aufgelöst:

$\varepsilon_{r}=1+\chi _{e}=1+\frac{3N_{A}\rho \alpha }{3M_{m}\varepsilon _{0}-N_{A}\rho \alpha }$

Literatur

• Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Lectures on Physics, Volume II. Definitive Edition Auflage. Addison-Wesley, 2005, ISBN 0-8053-9047-2.