Yule-Walker-Gleichungen

Die nach Gilbert Walker und George Udny Yule benannten Yule-Walker-Gleichungen werden in der Statistik zum Schätzen von Parametern bei AR(MA)-Prozessen verwendet. Sie stellen einen Zusammenhang zwischen Autoregressionskoeffizienten und der Autokovarianzfolge des Prozesses her.

Formeln

Sei $(X_t)_{t\in \mathbb{Z}}$ ein autoregressiver Prozess von Ordnung p, i.e. $X_t=\sum_{k=1}^p \alpha_k X_{t-k}+\varepsilon_t$, wobei $(\varepsilon_t)_{t\in \mathbb{Z}}$ weißes Rauschen und $(r_t)_{t\in \mathbb{Z}}$ die Autokovarianzfolge. Dann gelten die Yule-Walker Gleichungen:

1. $\sum_{k=1}^p \alpha_k r_{t-k}=r_t$ für t > 0
2. $\sum_{k=1}^p \alpha_k r_{t-k}=r_0-\sigma_\varepsilon^2$ für t = 0

Anwendung

In der Praxis verwendet man Schätzer für die Autokovarianzen und benutzt die Yule-Walker-Gleichungen um die Autoregressionskoeffizienten zu schätzen.