The Complexity of Songs

The Complexity of Songs (en, de: Über die Komplexität von Liedern) ist ein im Jahre 1977 von dem Informatiker Donald Ervin Knuth veröffentlichter Fachartikel und wissenschaftlicher Witz. Er analysiert darin die Länge von Liedern in Abhängigkeit des zu lernenden Textes mit den Methoden der Komplexitätstheorie. Der Artikel polemisiert zudem eine angebliche Tendenz populärer Musik von komplexen Balladen hin zu stark repetitiven Texten beziehungsweise Trivialität.^[1] Die Erstveröffentlichung erfolgte 1977 in SIGACT News, 1984 wurde der Artikel in den Communications of the ACM nachgedruckt.^[2]

Zusammenfassung

Knuths Artikel eröffnet mit der Beobachtung, dass das Singen der meisten Lieder der Länge n das Lernen von Text der Länge n voraussetzt. Bei wachsender Liedzahl strapaziere diese Eigenschaft die Speicherkapazitäten des Gedächtnisses. Als ein einfaches Konzept zur effizienteren Verwaltung von Speicher führt er das Konzept des Refrains ein. In einem ersten Lemma beweist er mit einer elementaren Rechnung, dass dieses Konzept die Speicherkapazität um einen konstanten Faktor c < 1 reduzieren kann.

Im direkten Anschluss analysiert er ein Konzept, das dieses Resultat weiter verbessert: Anhand des Liedes Echad Mi Yodea (he: ‏אחד מי יודע‎, ji: ver ken zogn ver ken redn) beweist er die Existenz von Liedern mit asymptotischer Speicherkomplexität von $\mathcal{O}(\sqrt{n})$.^{[A 1]} Als konzeptuell vergleichbar nennt er das Lied Green Grow the Rushes, O,^[3] (auch The Dilly Song) Alouette, Ist das nicht ein Schnitzelbank und weitere Lieder mit dieser Struktur. Als eine Verbesserung im Koeffizienten diskutiert er die Struktur des Liedes Old McDonald had a Farm ausführlich in einem Lemma.

In einer Untersuchung von Zählreimen anhand des Beispiels von 99 Bottles of Beer konstruiert er Lieder mit logarithmischen Speicherbedarf, also $\mathcal{O}(\log n)$. Er betrachtet dafür das Schema mit den Versen V_k. dabei setzt er

$\begin{align} V_k = &T_k \ast B\ast W\ast ',' \\ &T_k\ast B \ast ';' \\ &'\mbox{If one of those bottles should happen to fall, }'\\ &T_{k-1}\ast B\ast W\ast'.' \end{align}$

Dabei ist

$\begin{align} B&= '\mbox{ bottles of Beer}'\\ W&= '\mbox{ on the Wall}' \end{align}$

$\ast$ ist die Verkettung von Strings und T_k eine Einbettung der natürlichen Zahl k in die englische Sprache. Aufgrund der logarithmischen Zahlendarstellung des Dezimalsystems, lässt sich so eine Einbettung mit logarithmischen Speicheraufwand konstruieren. Offensichtlich haben dann die rekursiv erklärten Lieder L_n mit L₀ = ε, das leere Lied, und $L_{n+1}=V_{n+1} \ast L_n$ eine logarithmische Komplexität für große $n\in\mathbb{N}$.

Dieses Resultat habe sich in allen Situationen, die eine Liedgeneration bei begrenztem Speicherplatz erfordern, als mehr als ausreichend bewährt. Eine nicht weiter optimierbare Struktur sieht er in dem Song That’s the Way (I Like It) der US-amerikanischen Band KC and the Sunshine Band. Die Entwicklung dieser Struktur sieht er durch die Notwendigkeit größerer Liedinstanzen bei minimalen Speicherplatz durch den Fortschritt moderner Drogentechnologie bedingt.^{[A 2]} Er beweist in einem kurzen Argument dessen konstante Komplexität ($\mathcal{O}(1)$) und schließt sein Papier mit dem Hinweis auf das offene Problem des Studiums nichtdeterministischer Liedstrukturen. (siehe Aleatorik)

Rezeptionen

In einem Leserbrief an die ACM wies Kurt Eisemann (San Diego State University) auf eine bekannte Verbesserung der Komplexitätsabschätzung hin, indem die L_n wie oben zu betrachten seien. Setzt man V_k = 'la', habe man eine Verbesserung der von Knuth vorgeschlagenen Methode um $c=\frac{2}{53}= 0.037736\dots$. Eine Komplexität von $\mathcal{O}(0)$ könne man durch die Nutzung stiller Datenstrukturen erreichen.^[4] Darrah Chavey griff Knuths Idee ernsthaft auf, um einen didaktischen Ansatz zu Erläuterung von Methoden der Informatik zu entwickeln.^[5]

Einzelnachweise

1. ↑ Steven Krantz (2005) Mathematical Apocrypha Redux, ISBN 0883855542, pp.2, 3.
2. ↑ Donald E. Knuth, The complexity of songs in SIGACT News, Sommer 1977, 17-24.
   • Reprint in Commun. ACM 27, no. 4 (1984): 344-346, doi:10.1145/358027.358042
3. ↑
    Wikisource: Green Grow the Rushes, O – Quellen und Volltexte (Englisch)
4. ↑ K. Eisemann, Letter: Further Results on The Complexity of Songs, Comm. ACM, 1985, 28(3), 235.
5. ↑ Darrah Chavey, Songs and the analysis of algorithms in Proceedings of the twenty-seventh SIGCSE technical symposium on Computer science education (Philadelphia, Pennsylvania, United States: ACM, 1996), 4-8, doi:10.1145/236452.236475

Anmerkungen

1. ↑ Zur Notation siehe Landau-Symbol.
2. ↑ Originalwortlaut: However, the advent of modern drugs has led to demands for still less memory space.