Schmidt-Zerlegung

In der linearen Algebra bezeichnet die Schmidt-Zerlegung (die nach Erhard Schmidt benannt ist) eine bestimmte Darstellung eines Vektors im Tensorprodukt von zwei Vektorräumen mit Skalarprodukt als Summe von wenigen paarweise orthonormalen Produktvektoren. Die Schmidt-Zerlegung findet zum Beispiel in der Quanteninformatik Anwendung.

Satz: Existenz und Eindeutigkeit

Seien H₁ und H₂ Hilberträume der Dimension n bzw. m und sei $n \geq m$. Dann gibt es für jeden Vektor $v\in H_1 \otimes H_2$ Mengen von paarweise orthonormalen Vektoren $\{ u_1, \ldots, u_n \} \subset H_1$ und $\{ v_1, \ldots, v_m \} \subset H_2$ so dass $v = \sum_{i =1} ^m \alpha _i u_i \otimes v_i$ wobei die nicht-negativen Zahlen $\alpha_1\geq\alpha_2\geq...\geq\alpha_n\geq0$ durch v eindeutig bestimmt sind.

Beweis

Die Schmidt-Zerlegung ist im Wesentlichen eine Konsequenz der Singulärwert-Zerlegung. Fixiere Orthonormalbasen $\{ e_1, \ldots, e_n \} \subset H_1$ und $\{ f_1, \ldots, f_m \} \subset H_2$. Der Elementartensor $e_i \otimes f_j$ kann mit der Matrix $e_i f_j ^T$ (hier bezeichnet $f_j ^T$ die Transposition von f_j) identifiziert werden. Ein beliebiger Vektor v lässt sich in der Basis $e_i\otimes f_j$ schreiben als

$v = \sum _{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} \beta _{ij} e_i \otimes f_j$

und kann dann mit der $n\times m$ Matrix

$\; M_v = (\beta_{ij})_{ij}$

identifiziert werden. Nach der Singulärwertzerlegung gibt es unitäre Matrizen U auf H₁ und V auf H₂ und eine positiv-semidefinite $m\times m$ Diagonalmatrix Σ so dass

$M_v = U \begin{bmatrix} \Sigma \\ 0 \end{bmatrix} V^T .$

Schreibt man $U =\begin{bmatrix} U_1 & U_2 \end{bmatrix}$, wobei U₁ eine $n\times m$-Matrix ist, dann erhält man

$\; M_v = U_1 \Sigma V^T .$

Bezeichnet man nun die ersten m Spaltenvektoren von U₁ mit $\{ u_1, \ldots, u_m \}$ und mit $\{ v_1, \ldots, v_m \}$ die Spaltenvektoren von V und die Diagonalelemente der Matrix Σ mit $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ dann folgt

$M_v = U_1 \Sigma V^T = \sum _{i=1} ^m \alpha_i u_i v_i ^T = \sum _{i=1} ^m \alpha_i u_i \otimes v_i$,

was die Behauptung beweist.

Verwendung in der Physik

Die Schmidt-Zerlegung findet z.B. in der Quantenphysik Anwendung.

Spektrum reduzierter Zustände

Betrachte einen Vektor in der Schmidt-Form

$w = \sum_{i =1} ^m \alpha _i u_i \otimes v_i.$

Die Matrix ρ = ww ^* (w ^* bezeichnet den zu w adjungierten Vektor) ist ein eindimensionaler Projektor auf $H_1\otimes H_2$. Die partielle Spur von ρ bezüglich entweder dem Teilsystem H₁ oder H₂ ist dann durch eine Diagonalmatrix gegeben, deren nicht-verschwindende Einträge | α_i | ² sind. Anders ausgedrückt zeigt die Schmidt-Zerlegung, dass das Spektrum der beiden partiellen Spuren tr₁(ρ) und tr₂(ρ) gleich ist.

In der Quantenmechanik beschreibt ρ (wie jeder eindimensionale Projektor auf $H_1\otimes H_2$) den reinen Zustand eines aus zwei Teilen zusammengesetzten Systems und ρ₂: = tr₁(ρ) bzw. ρ₁: = tr₂(ρ) beschreibt den reduzierten Zustand im Teilsystem 2 bzw 1. Das Spektrum des reduzierten Zustands bestimmt unter anderem dessen von-Neumann-Entropie sowie verschiedene Verschränkungsmaße des reinen Zustands ρ.^[1]

Schmidt-Rang und Verschränkung

Für einen Vektor $w\in H_1 \otimes H_2$ werden die strikt positiven Werte α_i > 0 in seiner Schmidt-Zerlegung als seine Schmidt-Koeffizienten bezeichnet. Die Anzahl von Schmidt-Koeffizienten heißt Schmidt-Rang von v.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

• der Schmidt-Rang von w ist größer als eins
• w lässt sich nicht als Produktvektor $u \otimes v$ schreiben
• w ist verschränkt
• die reduzierten Zustände von w sind nicht rein

Aus den Schmidt-Koeffizienten eines reinen Zustands w lassen sich alle seine Verschränkungseigenschaften bestimmen ^[1]. Auch das Verhalten von w unter lokalen Quantenoperationen ist durch die Schmidt-Koeffizienten festgelegt, insbesondere, ob sich zwei Zustände lokal ineinander transformieren lassen.^[2]

Literatur

• Erich Schmidt: Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Mathematische Annalen 63, 433-476 (1906).
• Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer (Dordrecht, 1993), Kapitel 5.
• Artur Ekert und Peter L. Knight: Entangled quantum systems and the Schmidt decomposition. In: American Journal of Physics. 63, Nr. 5=pages=415, Mai 1995. doi:10.1119/1.17904.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Guifre Vidal: Entanglement Monotones. In: J. Mod. Opt.. 47, 2000, S. 355. doi:10.1080/09500340008244048. arXiv:quant-ph/9807077.
2. ↑ M. A. Nielsen: Conditions for a Class of Entanglement Transformations. In: Phys. Rev. Lett.. 83, 1999, S. 436. doi:10.1103/PhysRevLett.83.436. arXiv:quant-ph/9811053.