Riesz-Mittel

Riesz-Mittel

Das Riesz-Mittel ist eine bestimmte Mittelwert-Bildung für Werte in eine Reihe in der Mathematik. Sie wurden von Marcel Riesz 1911 als Verbesserung zum Cesàro-Mittel eingeführt.[1][2] Das Riesz-Mittel sollte nicht mit dem Bochner-Riesz-Mittel oder dem Strong-Riesz-Mittel verwechselt werden.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Gegeben sei eine Reihe {sn}. Das Riesz-Mittel der Reihe ist definiert durch

s^\delta(\lambda) = 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta s_n

Manchmal wird ein verallgemeinertes Riesz-Mittel definiert als

R_n = \frac{1}{\lambda_n} \sum_{k=0}^n (\lambda_k-\lambda_{k-1})^\delta s_k

Dabei sind die λn eine Folge mit \lambda_n\to\infty und mit \lambda_{n+1}/\lambda_n\to 1, wenn n\to\infty. Die anderen λn sind beliebig.

Das Riesz-Mittel wird oft verwendet, um die Summierbarkeit von Folgen zu untersuchen. Üblicherweise untersuchen Sätze zur Summierbarkeit der s_n = \sum_{k=0}^n a_n für Folgen {an}. Normalerweise ist eine Folge summierbar, wenn der Grenzwert \lim_{n\to\infty} R_n vorhanden ist oder der Grenzwert \lim_{\delta\to 1,\lambda\to\infty}s^\delta(\lambda) existiert, obgleich die exakten Sätze zur Summierbarkeit oft noch zusätzliche Bedingungen voraussetzen.

Spezialfälle

Sei an = 1 für alle n. Dann gilt

 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta
= \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} 
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \zeta(s) \lambda^s \, ds
= \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_n b_n \lambda^{-n}.

Dabei muss c > 1 sein, Γ(s) ist die Gammafunktion und ζ(s) ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Es kann gezeigt werden, dass die Potenzreihe

bnλ n
n

für λ > 1 konvergent ist. Es ist anzumerken, dass das Integral von der Form einer inversen Mellin-Transformation ist.

Ein anderer interessanter Fall, der mit der Zahlentheorie verknüpft ist, entsteht durch Setzen von an = Λ(n), wobei Λ(n) die Mangoldt-Funktion ist. Dann ist

 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n)
= - \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} 
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} 
\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s \, ds
= \frac{\lambda}{1+\delta} + 
\sum_\rho \frac {\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)}
+\sum_n c_n \lambda^{-n}.

Erneut muss c > 1 sein. Die Summe über ρ ist die Summe über die Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion und

\sum_n c_n \lambda^{-n} \,

ist konvergent für ρ > 1.

Die Integrale, die hierbei auftreten ähneln dem Nörlund-Rice-Integral. Sie hängen über Perron's-Formel zusammen.

Siehe auch

Literatur

  1. M. Riesz: Comptes Rendus, 12. Juni 1911 (englisch)
  2. G.H. Hardy and J.E. Littlewood: Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica, 41 (1916) pp.119–196. (englisch)

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Riesz — ist der Familienname der Brüder und ungarischen Mathematiker Frigyes Riesz (1880–1956) und Marcel Riesz (1886–1969). Nach Frigyes Riesz benannt sind Riesz Raum Lemma von Riesz Rieszscher Darstellungssatz Vollständigkeitssatz von Riesz Satz von… …   Deutsch Wikipedia

  • Marcel Riesz — (* 16. November 1886 in Győr, Ungarn; † 4. September 1969 in Lund, Schweden) war ein ungarischer Mathematiker. Leben Marcel Riesz war der jüngere Bruder von Frigyes Riesz. Er studierte Mathematik an der Universität in Budapest und wurde von… …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Kolmogorow-Riesz — Der Satz von Kolmogorow Riesz (nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow und Marcel Riesz) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, der ein Kompaktheitskriterium für Teilmengen von Lp Räumen darstellt. Dieser Satz… …   Deutsch Wikipedia

  • Ernst Sigismund Fischer — (* 12. Juli 1875 in Wien; † 14. November 1954 in Köln) war ein österreichischer Mathematiker, der sich mit Analysis und Algebra beschäftigte. Inhaltsverzeichnis 1 Leben und Wirken 2 Literatur …   Deutsch Wikipedia

  • Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow — (russisch Андрей Николаевич Колмогоров, wiss. Transliteration Andrej Nikolaevič Kolmogorov; * 12.jul./ …   Deutsch Wikipedia

  • L1-Norm — In der Mathematik sind Lp Räume spezielle Banachräume, die aus Räumen sogenannter „p fach integrierbarer“ Funktionen gebildet werden. Das L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück, da diese Räume über …   Deutsch Wikipedia

  • L2-Norm — In der Mathematik sind Lp Räume spezielle Banachräume, die aus Räumen sogenannter „p fach integrierbarer“ Funktionen gebildet werden. Das L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück, da diese Räume über …   Deutsch Wikipedia

  • Lebesgue-Raum — In der Mathematik sind Lp Räume spezielle Banachräume, die aus Räumen sogenannter „p fach integrierbarer“ Funktionen gebildet werden. Das L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück, da diese Räume über …   Deutsch Wikipedia

  • Lebesgue-Räume — In der Mathematik sind Lp Räume spezielle Banachräume, die aus Räumen sogenannter „p fach integrierbarer“ Funktionen gebildet werden. Das L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück, da diese Räume über …   Deutsch Wikipedia

  • Lp-Norm — In der Mathematik sind Lp Räume spezielle Banachräume, die aus Räumen sogenannter „p fach integrierbarer“ Funktionen gebildet werden. Das L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück, da diese Räume über …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”