Transzendenzbasis

Transzendenzbasis ist ein algebraischer Begriff aus der Theorie der Körpererweiterungen, der in Analogie zum Begriff der Vektorraumbasis der linearen Algebra gesehen werden kann. Die Mächtigkeit einer solchen Transzendenzbasis, der sogenannte Transzendenzgrad, stellt ein Maß für die Größe einer transzendenten Körpererweiterung dar.

Begriffsbildung

Es sei L / K eine Körpererweiterung, das heißt K ist ein Teilkörper des Körpers L. Eine n elementige Menge $\{a_1,\ldots,a_n\}\subset L$ heißt bekanntlich algebraisch unabhängig über K, wenn es außer dem Nullpolynom kein Polynom in $f\in K[t_1,\ldots, t_n]$ in n Unbestimmten mit $f( a_1,\ldots,a_n)=0$ gibt. Eine beliebige Teilmenge $A\subset L$ heißt algebraisch unabhängig über K, wenn jede endliche Teilmenge von A es ist. Eine maximale algebraisch unabhängige Menge in L, die man also durch kein weiteres Element zu einer über K algebraisch unabhängigen Menge erweitern kann, heißt eine Transzendenzbasis der Körpererweiterung L / K.

Man beachte die Analogie zur linearen Algebra, in der eine Vektorraumbasis als eine maximale linear unabhängige Menge charakterisiert werden kann.

Ist L / K eine Körpererweiterung, so sind für eine algebraisch unabhängige Menge $B\subset L$ folgende Aussagen äquivalent:^[1]

• B ist eine Transzendenzbasis von L / K.
• L / K(B) ist algebraisch, wobei K(B) der kleinste Körper in L ist, der K und B enthält (siehe Körperadjunktion).

Transzendenzgrad

Wie in der linearen Algebra die Existenz einer Hamelbasis bewiesen wird, so erhält man die Existenz einer Transzendenzbasis, indem man zeigt, dass jede Vereinigung aufsteigender Mengen algebraisch unabhängiger Mengen wieder algebraisch unabhängig ist und dann das Lemma von Zorn anwendet.

Ist die Körpererweiterung algebraisch, so ist die leere Menge offenbar Transzendenzbasis. Ist K(t) der Körper der rationalen Funktionen über K, so hat die Körpererweiterung K(t) / K die Transzendenzbasis {t}.

In völliger Analogie zum Austauschlemma von Steinitz der linearen Algebra zeigt man, dass je zwei Transzendenzbasen einer Körpererweiterung gleichmächtig sind. Daher ist die Mächtigkeit einer Transzendenzbasis eine Invariante der Körpererweiterung L / K, die man ihren Transzendenzgrad nennt und mit Trg(L:K) bezeichnet ^[2]. In Anlehnung an die englischsprachige Bezeichnung transcendence degree findet man auch die Schreibweise trdeg(L:K).

Offenbar ist Trg(L:K) = 0 äquivalent zur Aussage, dass L / K algebraisch ist. Leicht zeigt man Trg(K(t):K) = 1 und aus Mächtigkeitsgründen gilt $Trg(\C:\Q)=\infty$. Ferner hat man^[3]

• Für Körper $K\subset M\subset L$ gilt $Trg(L:K) \,=\, Trg(L:M)+ Trg(M:K)$.

Daraus ergibt sich sofort $Trg(K(t_1,\ldots,t_n):K)=n$, wobei $K(t_1,\ldots,t_n)$ der Körper der rationalen Funktionen in n Unbestimmten über K ist.

Rein transzendente Körpererweiterungen

Eine Körpererweiterung L / K heißt rein transzendent, wenn es eine Transzendenzbasis A gibt mit L = K(A). Daraus folgt, dass jedes Element aus $L\setminus K$ transzendent über K ist. Jede Körpererweiterung lässt sich in eine algebraische und eine rein transzendente Körpererweiterung aufspalten, wie der folgende Satz zeigt^[4]:

Ist L / K eine Körpererweiterung, so gibt es einen Zwischenkörper M, so dass folgendes gilt

• M / K ist rein transzendent.
• L / M ist algebraisch.

Zum Beweis nehme man M = K(A) für eine Transzendenzbasis $A\subset L$ über K .

Die Körpererweiterungen K(t) / K und $\Q(e)/\Q$ sind rein transzendent, wobei für letzteres die nicht-triviale Tatsache der Transzendenz der Eulerschen Zahl e über $\Q$ verwendet wird. Die Körpererweiterung $\Q(\sqrt{2},e)/\Q$ ist transzendent (das heißt nicht-algebraisch), aber nicht rein transzendent, da $\sqrt{2}$ algebraisch über $\Q$ ist.

Einzelnachweise

1. ↑ Gerd Fischer, Reinhard Sacher: Einführung in die Algebra, Teubner Verlag (1978), Anhang 4
2. ↑ Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), Satz 6.10.10
3. ↑ Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), Satz 6.10.11
4. ↑ Gerd Fischer, Reinhard Sacher: Einführung in die Algebra, Teubner Verlag (1978), Anhang 4, Satz 2