Rayleigh-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung in Abhängigkeit von σ,

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleighverteilung (nach John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.

Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und statistisch unabhängig sind, dann ist der Betrag Rayleigh-verteilt. Dies tritt zum Beispiel bei Quadraturamplitudenmodulation in Telekommunikationssystemen auf, wo die Sendesymbole durch einen Punkt in der komplexen Ebene dargestellt werden können.

Sind nun Abweichungen des Real- und Imaginärteils normal verteilt und statistisch unabhängig, so weist der Betrag der komplexen Zahl eine Rayleighverteilung auf.

Die Verteilung von 10-Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Öfteren durch eine Rayleighverteilung beschrieben, wenn nicht eine zweiparametrige Weibull-Verteilung gewählt werden soll.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable X heißt Rayleigh-verteilt mit Parameter σ > 0, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x,\sigma) = \begin{cases}\displaystyle \frac{x e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}}{\sigma^2} & x \geq 0 \\ 0 & x <0 \end{cases}$

besitzt. Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion

$F(x) = \begin{cases}\displaystyle 1 - e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} & x \ge 0 \\ 0 & x<0 \end{cases}$

Eigenschaften

Momente

Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:

$\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,$

wobei Γ(z) die Gammafunktion darstellt.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

$\operatorname{E}(X)=\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}$.

Varianz

Die Varianz der Verteilung ist

$\operatorname{Var}(X)=\frac{4-\pi}{2} \sigma^2$.

Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant:

$\frac{\operatorname{E}(X)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{2}{4-\pi}} =\sqrt{\frac{\pi}{4-\pi}}\approx 1,91$.

Schiefe

Für die Schiefe erhält man

$\operatorname{v}(X)=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}$

Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt sich zu

$\beta_2(X) = - \frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}$

Charakteristische Funktion

Die Charakteristische Funktion ist

$\varphi(t)=1-\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\operatorname{erf}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)-i\right)$

wobei $\operatorname{erf}$ die komplexe Fehlerfunktion ist.

Momenterzeugende Funktion

Die Momenterzeugende Funktion ist gegeben durch

$M(t)=1+\sigma te^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left(\operatorname{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)+1\right)$

wobei $\operatorname{erf}(z)$ wiederum die Fehlerfunktion ist.

Modus

Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für x = σ denn

$\frac{d}{dx}f(x|\sigma) = \frac{e^{(-\frac{1}{2}\frac{x^2}{\sigma^2}})}{\sigma^2} - x^2 \frac{e^{(-\frac{1}{2} \frac{x^2}{\sigma^2})}}{\sigma^4} = 0$

für $x = \pm\sigma$. Damit ist σ der Modus der Rayleigh-Verteilung.

Im Maximum hat f() den Wert

$f(\sigma|\sigma) = \frac{e^{(-\frac{1}{2})}}{\sigma}$.

Parameterschätzung

Die Maximum-Likelihood Schätzung von σ erfolgt über:

$\sigma\approx\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=0}^N x_i^2}$

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleighverteilung.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn R∼Rayleigh(1) dann ist R² Chi-Quadrat verteilt mit zwei Freiheitsgraden: $R^2 \sim \chi^2_2$

Beziehung zur Weibull-Verteilung

$\mathrm{Rayleigh}(\sigma^2) = \mathrm{Wei}\left(\frac{1}{2 \sigma^2}, 2\right)$

Beziehung zur Exponentialverteilung

Wenn X exponentialverteilt ist $\!\,X \sim \mathrm{Exp}(x|\lambda)$, dann ist $Y=\sqrt{2X\sigma^2\lambda} \sim \mathrm{Rayleigh}(y|\sigma)$.

Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn R∼Rayleigh(σ²) dann ist $\sum_{i=1}^N R_i^2$ gammaverteilt mit den Parametern N und 2σ²: $[Y=\sum_{i=1}^N R_i^2] \sim \Gamma(N,2\sigma^2)$.

Beziehung zur Normalverteilung

R∼Rayleigh(σ) ist Rayleigh verteilt, wenn $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ wobei $X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ und $Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ zwei statistisch unabhängige Normalverteilungen sind.

Siehe auch

• Fading (Elektrotechnik)

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta