Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit oder semi-riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein mathematisches Objekt aus der (pseudo-) riemannschen Geometrie. Sie ist eine Verallgemeinerung der schon früher definierten riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde von Albert Einstein für seine allgemeine Relativitätstheorie eingeführt. Jedoch wurde das Objekt nach Bernhard Riemann dem Begründer der Riemannschen Geometrie benannt. Aber auch nach Albert Einstein wurde eine Struktur einer Mannigfaltigkeit benannt. Diese einsteinschen Mannigfaltigkeiten sind ein Spezialfall der pseudo-riemannschen.

Definition

Mit T_pM wird im Folgenden der Tangentialraum an einem Punkt p einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M bezeichnet. Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer Funktion $g_p : T_pM \times T_pM \to \R$. Diese Funktion ist tensoriell, symmetrisch und nicht ausgeartet, das heißt für alle Vektorfelder $X,\ Y,\ Z$ gilt

1. $g_p(aX + bY,Z) = a\, g_p(X,Z) + b\, g_p(Y,Z)$ (tensoriell),
2. g_p(X,Y) = g_p(Y,X) (symmetrisch),
3. es existiert kein $X \in T_pM$, so dass g_p(X,Y) = 0 für alle Y gilt.

Außerdem ist g_p differenzierbar abhängig von p. Die Funktion g ist also ein differenzierbares Tensorfeld $g: TM \times TM \to C^\infty(M)$ und heißt pseudo-riemannsche Metrik oder metrischer Tensor.

Signatur

Wie jeder gewöhnlichen Bilinearform kann man auch der pseudo-riemannschen Metrik eine Signatur zuordnen. Diese ist aufgrund des Trägheitssatzes von Sylvester unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems auf der Mannigfaltigkeit und damit auch unabhängig von der Wahl des Punktes $p \in M$. Da g nicht ausgeartet ist, ist der dritte Eintrag in der Signatur immer null und die Determinante von g ist immer ungleich null. Vierdimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten mit der Signatur (3,1,0) (beziehungsweise meist (1,3,0)) heißen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Diese spielen eine wichtige Rolle in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Pseudo-riemannsche Geometrie

Im Unterschied zu pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten sind die riemannschen Mannigfaltigkeiten positiv definit, was eine stärkere Forderung als nicht ausgeartet ist. Einige Resultate aus der riemannschen Geometrie lassen sich auch auf pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten übertragen. So gilt zum Beispiel der Hauptsatz der riemannschen Geometrie auch für pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Es existiert also für jede pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit ein eindeutiger Levi-Civita-Zusammenhang. Jedoch im Gegensatz zur riemannschen Geometrie kann man nicht zu jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit eine Metrik mit vorgegebener Signatur finden. Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen riemannscher und pseudo-riemannscher Geometrie ist das Fehlen eines Äquivalents für den Satz von Hopf-Rinow in der pseudo-riemannschen Geometrie. Im Allgemeinen sind hier metrische Vollständigkeit und geodätische Vollständigkeit nicht miteinander verknüpft. Durch die Signatur der Metrik ergeben sich außerdem Probleme für die Stetigkeit der Abstandsfunktion. So kann die Abstandsfunktion für Lorentzmannigfaltigkeiten die Eigenschaft aufweisen nicht oberhalbstetig zu sein.

Definitionsvariante

Abweichend von der obigen Definition unterscheidet Serge Lang semi-riemannsche von pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten und verlangt für erstere zusätzlich, dass g_p positiv semidefinit sei, das heißt $g_p(X,X) \geq 0$ für alle $X \in T_pM$.^[1]

Einzelnachweise

1. ↑ Serge Lang: Differential and Riemannian manifolds. 3. Auflage. Springer Science+Business Media, New York 1995, ISBN 0-387-94338-2, S. 30 (Graduate Texts in Mathematics. Band 160, Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche)

Literatur

• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
• Peter Petersen: Riemannian geometry. Second Edition. Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-29403-1
• Beem, J.K., Ehrlich, P.E., Easley, K.L.: Global Lorentzian Geometry, Pure and Applied Mathematics 202, 2nd Edition. New York: Marcel Dekker, Inc. 1996