Nakajima-Zwanzig-Gleichung

Nakajima-Zwanzig-Gleichung

Die Nakajima-Zwanzig Gleichung ist eine Integrodifferentialgleichung, welche die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteoperatorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung angesehen werden.

Inhaltsverzeichnis

Herleitung

Beginnend mit der Liouville-Gleichung

dtχ = Lχ

wobei der Dichteoperator durch den Projektionsoperator \mathcal{P} in zwei Anteile \chi =\left( \mathcal{P}+\mathcal{Q} \right)\chi zerlegt wird. Wobei Q folglich durch \mathcal{Q}\equiv 1-\mathcal{P} definiert ist.

Die Liouville von Neumann Gleichung kann also durch

{{d}_{t}}\left( \begin{matrix}
   \mathcal{P}  \\
   \mathcal{Q}  \\
\end{matrix} \right)\chi =\left( \begin{matrix}
   \mathcal{P}  \\
   \mathcal{Q}  \\
\end{matrix} \right)L\left( \begin{matrix}
   \mathcal{P}  \\
   \mathcal{Q}  \\
\end{matrix} \right)\chi +\left( \begin{matrix}
   \mathcal{P}  \\
   \mathcal{Q}  \\
\end{matrix} \right)L\left( \begin{matrix}
   \mathcal{Q}  \\
   \mathcal{P}  \\
\end{matrix} \right)\chi

dargestellt werden.

Die zweite Zeile wird formal durch

\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')} gelöst.

Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die Nakajima-Zwanzig-Gleichung:

{\text{d}}_{t} \mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')}

Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet[Anmerkung 1] und der Abkürzung

\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P} ,

\mathcal{P}\chi \equiv {{\chi }_{rel}} sowie der Ausnutzung von \mathcal{P}^2=\mathcal{P} erhält man die endgültige Form

{\text{d}}_{t}{\chi }_{rel}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')}

Anmerkungen

  1. Dies kann man machen, wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt 0 ist. Also der Projektor für t=0 die Identität ist

Literatur

Quellen


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”