Monotoner Dichtequotient

Monotoner Dichtequotient

Der Begriff Monotoner Dichtequotient entstammt dem Gebiet der statistischen Testtheorie. Er dient dazu, das Neyman-Pearson-Lemma auch für zusammengesetzte Hypothesen nutzbar zu machen. Zu diesem Zweck klassifiziert man mit dem Begriff Verteilungsfamilien, die eine gewisse Regelmäßigkeit aufweisen.

Formale Definition

Sei also X eine Zufallsvariable mit Werten in \mathcal X und unbekannter Verteilung P_{\theta}^X. Die Verteilung gehöre dabei zu einer Familie (P_{\vartheta}^X)_{\vartheta\in\Theta} (\Theta \subset \mathbb R), welche stetige Dichten (f_{\vartheta})_{\vartheta\in\Theta} besitzen möge. Sei weiter T eine Teststatistik mit Werten in \mathbb R.

Man sagt die Familie (P_{\vartheta}^X)_{\vartheta\in\Theta} habe einen monontonen Dichtequotinenten in T genau dann, wenn es für alle \vartheta', \vartheta (\vartheta' > \vartheta) eine (in T) monoton wachsende Funktion g_{(\vartheta',\vartheta)}: \mathbb R \longrightarrow [0,\infty] gibt mit der Eigenschaft, dass für alle x \in \mathcal X mit f_{\vartheta'}(x) \neq 0 \neq f_{\vartheta}(x) gilt

\frac{f_{\vartheta'}(x)}{f_{\vartheta}(x)} = g_{(\vartheta',\vartheta)}(T(x)).

Anwendung

Man kann beweisen: in einseitigen Testproblemen, in denen die Verteilungen einen monotonen Dichtequotienten aufweisen, existiert ein bester Test zum Niveau α.

Literatur

Irle, Albrecht: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Wiesbaden ²2005, 383.


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”