Metrischer Zusammenhang

Metrischer Zusammenhang

Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei (M,\tilde{g}) eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei (E \to M,g) ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik g. Ein Zusammenhang \nabla auf E heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte X, Y, Z \in \Gamma(E)

(\nabla_X g)(Y,Z) = 0

gilt.

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle X, Y, Z \in \Gamma(E)

X(g(Y,Z)) =g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z).

Beispiele

  • Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel TM an M mit der riemannschen Metrik von M. Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Affiner Raum

Sei (E \to M,g) ein Vektorbündel mit Metrik g, dann ist die Menge der metrischen Zusammenhänge auf E ein nicht leerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus \mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E)). Um die Notation zu vereinfachen wird in diesem Abschnitt durch X die Menge der metrischen Zusammenhänge auf E bezeichnet. Der Raum X ist ein affiner Raum bedeutet, es gibt eine Abbildung

l : \mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E)) \times X \to X,

so dass

  1. für jedes \nabla \in X die Gleichung 0 + \nabla = \nabla gilt,
  2. für jedes \omega, \nu \in \mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E)) und für alle \nabla \in E das Assoziativgesetz (\omega + \nu) + \nabla = \omega + (\nu + \nabla) gilt und
  3. für alle \nabla \in X die Abbildung \omega \mapsto \omega + \nabla bijektiv ist.

Literatur


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