Kompakt-offene Topologie

Kompakt-offene Topologie

Die kompakt-offene Topologie ist eine im Teilgebiet der Mathematik der Topologie betrachtete Struktur auf Räumen von Funktionen zwischen topologischen Räumen. Sind X und Y topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge C(X,Y) aller stetigen Funktionen X\to Y wieder zu einem topologischen Raum zu machen. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die unten definierte kompakt-offene Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Seien X und Y topologische Räume. Ist K\subset X kompakt und U\subset Y offen, so sei \Omega(K,U) := \{f\in C(X,Y): \, f(K)\subset U\}.

Die kompakt-offene Topologie auf C(X,Y) ist die von allen Mengen der Form Ω(K,U), K\subset X kompakt, U\subset Y offen, erzeugte Topologie, d.h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen Ω(K,U).

Die Mengen Ω(K,U), K\subset X kompakt, U\subset Y offen, bilden damit eine Subbasis der kompakt-offenen Topologie. Die kompakt-offene Topologie wird oft mit co abgekürzt (engl. compact-open), Cco(X,Y) bezeichnet dann den Raum C(X,Y), der mit der kompakt-offenen Topologie versehen ist.

Eigenschaften

Im Folgenden seien X und Y topologische Räume.

Trennungsaxiome

Ist Y T0-Raum, T1-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt Cco(X,Y) demselben Trennungsaxiom.

Die Auswertungsabbildung

Für jede nicht-leere Teilmenge H\subset C(X,Y) hat man die Auswertungsabbildung j_H: H\times X \to Y, (f,x)\mapsto f(x). Ist τ irgendeine Topologie auf H, so dass jH stetig ist (H\times X trägt dabei die Produkttopologie aus τ und der auf X gegebenen Topologie), so ist co|_H\subset \tau, d.h., die relative kompakt-offene Topologie auf H ist gröber als τ. In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung jH stetig, wenn man H mit der relativen kompakt-offenen Topologie versieht; es gilt:

Ist X lokalkompakt und Y ein beliebiger topologischer Raum, so ist die kompakt-offene Topologie auf jeder Teilmenge H\subset C(X,Y) die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung j_H: H\times X \to Y, (f,x)\mapsto f(x) stetig macht.

Komposition

Seien X und Y lokalkompakt, Z sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung

C_{co}(X,Y)\times C_{co}(Y,Z) \rightarrow C_{co}(X,Z), \,\, (f,g)\mapsto g\circ f

stetig.

Kompakte Konvergenz

Sei X lokalkompakt, Y uniformer Raum. Dann stimmt die kompakt-offene Topologie auf C(X,Y) mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Anwendung

Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei X ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt p\in X. Mit π1(X,p) werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt p bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen πn(X,p) betrachte man den Raum ΩX,p aller stetigen Abbildungen g: ([0,1]^2, \partial[0,1]^2) \to (X,p) des Einheitsquadrates [0,1]2 nach X, die den Rand \partial[0,1]^2 des Einheitsquadrates auf den Basispunkt p abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus ΩX,p, die das Einheitsquadrat auf den Punkt p abbildet, mit \tilde{p} und versieht man ΩX,p mit der relativen kompakt-offenen Topologie von C([0,1]2,X), so ist das Paar (\Omega_{X,p},\tilde{p}) ein topologischer Raum mit einem ausgezeichnetem Punkt.

Man definiert nun \pi_2(X,p):= \pi_1(\Omega_{X,p},\tilde{p}) und allgemeiner rekursiv \pi_n(X,p):= \pi_{n-1}(\Omega_{X,p},\tilde{p}) für n > 1.

Quellen


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