- Cauchyscher Grenzwertsatz
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Der Cauchysche Grenzwertsatz wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy formuliert. Er ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes von Césaro–Stolz und besagt: Aus der Konvergenz einer Zahlenfolge folgt die Konvergenz der Cesaro-Mittel der Folge gegen denselben Grenzwert.
Inhaltsverzeichnis
Mathematische Formulierung des Satzes
Gegeben sei eine Zahlenfolge , dann ist die Folge der Cesaro-Mittel dieser Folge definiert durch . Aus folgt dann .
Verwandte Resultate und Erweiterungen
Betrachtet man statt des gewöhnlichen arithmetischen Mittels ein gewichtetes Mittel, so folgt aus der Konvergenz der ursprünglichen Folge auch die Konvergenz der gewichteten Mittel, das heißt, es gilt der folgende Satz:
Sei (an) eine beliebiger Folge mit und (pn) eine Folge positiver Zahlen mit , dann gilt auch .
Für das geometrische Mittel gilt ebenfalls ein analoger Satz:
Sei (an) eine Folge mit , so konvergiert auch die Folge der geometrischen Mittel, das heißt
Beweis
Zu jedem ε > 0 gibt es für die Indizes eine Schranke Nε überhalb der | ak − a | < ε ist.
Sei mit die Differenz des -ten Folgeglieds vom Grenzwert bezeichnet.
Das Durchsummieren der Gleichung von bis zu einem variablen liefert die Gleichung
und das durchdividieren mit die Gleichung
Letzter Ausdruck lässt sich aufspalten in .
Hier ist der erste Summand eine Nullfolge somit betragsmäßig für hinreichend großes .
Und der zweite Summand ist betragsmäßig kleinergleich .
Also | An − a | < 2ε für alle genügend große .
Literatur
- Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 1, 6-te Auflage, Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S.177
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