Cassinische Kurve

Die Cassinische Kurve (benannt nach Giovanni Domenico Cassini) ist der Ort aller Punkte in der Ebene, für die das Produkt ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten P und Q gleich $a^2, a\in\mathbb{R}^+_0$ ist. Von Giovanni Domenico Cassini wurden diese Kurven auch nach Entdeckung der keplerschen Gesetze als Planetenbahnen vorgeschlagen. Ein Spezialfall der Cassinischen Kurve ist die Lemniskate.

Gleichungen

Die Kurve lässt sich in kartesischen Koordinaten durch die Gleichung

$(x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4\qquad a,c\in\mathbb{R}^+_0$

beschreiben, wobei P = P( − c,0) und Q = Q(c,0) gesetzt wurde. In Polarkoordinaten lautet die Gleichung

$r^2=c^2\cos(2\varphi)\pm\sqrt{c^4\cos^2(2\varphi)+(a^4-c^4)}\qquad a,c\in\mathbb{R}^+_0.$

Herleitung aus der Definition

Das Problem werde in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem der Ebene behandelt, sodass P = P( − c,0) und Q = Q(c,0), mit $c\in\mathbb{R}^+_0$ gilt. Dann gilt für einen Punkt X auf der Kurve laut Definition:

$a^2=|\overline{PX}||\overline{QX}|=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\sqrt{(x-c)^2+y^2}$

$\Rightarrow a^4 = [(x+c)^2+y^2][(x-c)^2+y^2]= (x^2-c^2)^2+y^2[(x+c)^2+(x-c)^2]+y^4$

= (x⁴ − 2x²c² + c⁴) + y²[2x² + 2c²] + y⁴ = x⁴ + 2x²y² + y⁴ + c⁴ − 2c²x² + 2c²y²

$\Rightarrow a^4-c^4 =(x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)$

Für den Übergang in Polarkoordinaten ist die Transformation x = rcos(φ),y = rsin(φ) nötig. Es ergibt sich mit dem trigonometrischen Pythagoras:

a⁴ − c⁴ = r⁴ − 2c²r²(cos ²(φ) − sin ²(φ)) = r⁴ − 2r²c²cos(2φ)r²

Dies ist eine Quartische Gleichung, insbesondere handelt es sich hier um den Biquartratischen Spezialfall, der als Quadratische Gleichung in r² zu lösen ist:

0 = (r²)² − 2c²cos(2φ)r² + (c⁴ − a⁴)

$\Rightarrow r^2(\varphi)=c^2\cos(2\varphi)\pm\sqrt{c^4\cos^2(2\varphi)+(a^4-c^4)}$

Form der Kurve

Die Cassinischen Kurven für verschiedene b=a/c:

 b = 0.6	 b = 0.8	 b = 1
 b = 1.2	 b = 1.4	 b = 1.6

Die Form der Cassinischen Kurve lässt sich in fünf Fälle unterscheiden:

1. Fall

Für $a>c\sqrt{2}$ ist die Kurve ein ellipsenförmiges Oval. Ihre Schnittpunkte mit der x-Achse liegen in diesem Fall bei $(\pm\sqrt{a^2+c^2},\,0)$, die Schnittpunkte mit der y-Achse bei $(0,\pm\sqrt{a^2-c^2})$.

2. Fall

Für $a=c\sqrt{2}$ ergibt sie wieder ein ellipsenförmiges Oval. Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen nun bei $(\pm c\sqrt{3},\,0)$. An den Schnittpunkten mit der y-Achse bei $(0,\,\pm c)$ ist die Krümmung der Kurve gleich 0.

3. Fall

Für $c<a<c\sqrt{2}$ ergibt sich ein eingedrücktes Oval mit den gleichen Achsenabschnitten wie im Fall $a>c\sqrt{2}$. Neben den beiden y-Achsenabschnitten sind die weiteren Extrema der Kurve an den Punkten

$\frac1{2c} \left(\pm\sqrt{4c^4-a^4},\ \pm a^2\right)$

Die vier Wendepunkte liegen bei

$\left(\pm\sqrt{\tfrac{1}{2}(m-n)},\,\pm\sqrt{\tfrac{1}{2}(m+n)}\right) \quad\text{mit}\quad m=\sqrt{\tfrac{a^4-c^4}{3}} \quad\text{und}\quad n=\tfrac{a^4-c^4}{3c^2}$

4. Fall

Für a = c ergibt sich die Lemniskate.

5. Fall

Für a < c ergeben sich zwei Ovale um die Punkte (c,0) und ( − c,0). Die Schnittpunkte mit der x-Achse haben die x-Koordinaten

$\pm\sqrt{c^2\pm a^2}$

Die Extrema sind an den Punkten

$\frac1{2c} \left(\pm\sqrt{4c^4-a^4},\ \pm a^2\right)$

Weblink

• "Mathematik verstehen"

Literatur

• Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, 3-8171-2006-0