Cassini-Kurve

Cassini-Kurve

Die Cassinische Kurve (benannt nach Giovanni Domenico Cassini) ist der Ort aller Punkte in der Ebene, für die das Produkt ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten (c,0) und ( − c,0) gleich a2 ist. Ein Spezialfall der Cassinischen Kurve ist die Lemniskate.

Inhaltsverzeichnis

Gleichungen

Die Kurve lässt sich in kartesischen Koordinaten durch die Gleichung

(x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4\qquad a>0,c>0

beschreiben. In Polarkoordinaten lautet die Gleichung

r^2=c^2\cos(2\varphi)\pm\sqrt{c^4\cos^2(2\varphi)+(a^4-c^4)}\qquad a>0,c>0.

Form der Kurve

Die Form der Cassinischen Kurve lässt sich in fünf Fälle unterscheiden:

1. Fall
Für a>c\sqrt{2} ist die Kurve ein ellipsenförmiges Oval. Ihre Schnittpunkte mit der x-Achse liegen in diesem Fall bei (\pm\sqrt{a^2+c^2},0), die Schnittpunkte mit der y-Achse bei (0,\pm\sqrt{a^2-c^2}).
2. Fall
Für a=c\sqrt{2} ergibt sie wieder ein ellipsenförmiges Oval. Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen nun bei (\pm c\sqrt{3},0). An den Schnittpunkten mit der y-Achse bei (0,\pm c) ist die Krümmung der Kurve gleich 0.
3. Fall
Für c<a<c\sqrt{2} ergibt sich ein eingedrücktes Oval mit den gleichen Achsenabschnitten wie im Fall a>c\sqrt{2}. Neben den beiden y-Achsenabschnitten sind die weiteren Extrema der Kurve an den Punkten \left(\pm\frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c},\pm\frac{a^2}{2c} \right). Die vier Wendepunkte liegen bei \left(\pm\sqrt{\frac{1}{2}(m-n)},\pm\sqrt{\frac{1}{2}(m+n)}\right) mit m=\sqrt{\frac{a^4-c^4}{3}} und n=\frac{a^4-c^4}{3c^2}.
4. Fall
Für a = c ergibt sich die Lemniskate.
5. Fall
Für a < c ergeben sich zwei Ovale um die Punkte (c,0) und ( − c,0). Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen bei (\pm\sqrt{a^2+c^2},0) bzw. (\pm\sqrt{a^2-c^2},0). Die Extrema sind an den Punkten \left(\pm\frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c},\pm\frac{a^2}{2c}\right).

Weblink

Literatur

  • Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, 3-8171-2006-0

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